Question

6．如图所示，卫星A和卫星B的圆轨道位于赤道平面内，卫星B离地面高度为h．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不计一切阻力，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行周期；
（2）若已知卫星A、B的运动周期分别为T_A和T_B，绕行方向与地球自转方向相同，当A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上）时开始计时，则要经过多长时间后它们会相距最远？

Answer 1

分析 研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出周期．
卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于π时，卫星再一次相距最远．

解答 解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，根据万有引力和牛顿运动定律，有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}_{B}^{2}}$
在地球表面有黄金代换：GM=gR²
联立得：T_B=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
（2）它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了半圈，有：
ω_Bt-ω_At=π
其中ω_B=$\frac{2π}{{T}_{B}}$，${ω}_{A}=\frac{2π}{{T}_{A}}$
可得：t=$\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{B}}-\frac{2π}{{T}_{A}}}$=$\frac{{T}_{A}{T}_{B}}{2（{T}_{A}-{T}_{B}）}$
答：1）卫星B的运行周期为2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
（2）要经过$\frac{{T}_{A}{T}_{B}}{2（{T}_{A}-{T}_{B}）}$它们会相距最远．

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．