Question

17．如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个有界匀强磁场，分布在以O 点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间区域的磁场方向垂直纸面向里，分布在以O点为圆心、半径为R的半圆内的磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．
求：（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间；
（2）微粒从P点到Q点运动的最大速度；
（3）微粒从P点到Q点可能的运动时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做圆周运动，根据周期公式以及粒子在磁场中转过的圆心角，即可求出粒子的运动时间；
（2）作出速度最大时粒子的运动轨迹，然后求出粒子的轨道半径，根据半径公式即可求出粒子的速度；
（3）根据题意作出粒子可能的运动轨迹，由牛顿第二定律与数学知识分析得出粒子运动的可能的情况，然后由周期公式结合所转过的圆心角即可求出粒子运动时间．

解答 解：（1）微粒在磁场中转过90°所用的时间为周期的$\frac{1}{4}$T=$\frac{2πm}{qB}$
微粒做圆周运动的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$ ①
t=$\frac{T}{4}$ ②
联立①②式可得：t=$\frac{πm}{2qB}$
（2）粒子从P点到Q点，速度越大，则运动半径越大．半径最大时可能的运动情况如图所示，

此时运动半径r=R，此时要求磁场区域外半径为（1+$\sqrt{2}$）R，不符合题意；
那么轨迹有可能为下图所示

此时根据几何关系可得：r=Rtan30° ③
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
联立③④式可得：v=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$
（3）设粒子在磁场中的运动轨迹为n段圆弧，

若n为偶数，运动时间恰好为整数个周期
t=$\frac{nπm}{qB}$ （n=2，4，6…）
若n为奇数，运动时间为整数个周期加一个优弧对应的运动时间
t=$\frac{（n-1）}{2}•\frac{2πm}{qB}+\frac{π（1+\frac{1}{n}）}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{{（n}^{2}+1）πm}{nqB}$  （n=1，3，5…）
答：：（1）微粒在磁场中从P点转过90°所用的时间为$\frac{πm}{2qB}$；
（2）微粒从P点到Q点运动的最大速度为$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；
（3）当n为偶数时，从P点到Q点可能的运动时间为$\frac{nπm}{qB}$；当n为奇数时，从P点到Q点可能的运动时间为$\frac{{（n}^{2}+1）πm}{nqB}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，运用洛伦兹力提供向心力结合几何关系去解决问题，根据题意作出粒子运动轨迹，结合题意找出相应的临界条件是正确解题的前提与关键．