Question

4．宇航员在某一星球表面以一定的初速度竖直上抛一个小球，经时间t落回抛出点；然后宇航员又在某高点h处，以相同的速度大小沿水平方向抛出一个小球，小球落到星球表面，测出抛出点与落地点之间的水平距离为L，已知该星球的质量M，万有引力常数为G，求：
（1）该星球的半径R．  
（2）该星球上的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据小球竖直上抛运动和平抛运动规律求得星球表面的重力加速度，再根据万有引力与重力相等求得该星球的半径；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得该星球上的第一宇宙速度．

解答 解：（1）令小球上抛的初速度为v，则根据竖直上抛有：
$\frac{2v}{g}=t$      ①
由平抛运动规律有：
$v\sqrt{\frac{2h}{g}}=L$      ②
由①②两式解得，g=$\frac{2{L}^{2}}{h{t}^{2}}$
又在星球表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得星球半径R=$\sqrt{\frac{GM}{g}}$=$\sqrt{\frac{GM}{\frac{2{L}^{2}}{h{t}^{2}}}}$=$\frac{t}{L}\sqrt{\frac{GMh}{2}}$
（2）第一宇宙速度为近星航天器的运行速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2{L}^{2}}{h{t}^{2}}•\frac{t}{L}\sqrt{\frac{GMh}{2}}}$=$\sqrt{\frac{2L}{t}\sqrt{\frac{GM}{2h}}}$
答：（1）该星球的半径R为$\frac{t}{L}\sqrt{\frac{GMh}{2}}$．  
（2）该星球上的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2L}{t}\sqrt{\frac{GM}{2h}}}$．

点评 解决此问题的关键入手点是在星球表面重力与万有引力相等，万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，难在与竖直上抛运动和平抛运动的综合，考查知识点较多．