Question

如图所示，在xOy平面内y＞0的区域中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₀，在y＜0的区域也存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一带正电的粒子从y轴上的P点垂直磁场入射，速度方向与y轴正向成45°．粒子第一次进入y＜0的区域时速度方向与x轴正向成135°，再次在y＞0的区域运动时轨迹恰与y轴相切．已知OP的距离为

2

a，粒子的重力不计，求：
（1）y＜0的区域内磁场的磁感应强度大小；
（2）粒子第2n（n∈N⁺）次通过x轴时离O点的距离（本问只需写出结果）．

Answer 1

分析：根据题意，带电粒子在磁场中做圆周运动，做出符合题意的圆，由几何关系求出半径，求出圆心角，由洛伦兹力提供向心力，求运动量；由周期公式求时间．

解答：解：（1）当粒子通过y轴时速度方向沿y轴负方向时，粒子运动的轨迹如图1所示．
设粒子第一次．第二次通过x轴上的点为分别为Q、M，粒子在y＞0和y＜0 的区域作圆周运动的半径分别为R₀和R₁，通过y轴上的点为N，y＜0区域的磁感应强度大小为B₁．
连接PQ，由题意知，

.

PQ

=2R0…①
又有几何关系可得：PQ=2a…②
由①②式可得：R₀=a…③
过M、N两点分别作该点速度方向的垂线，两垂线相交于O₁点，O₁即为粒子在y＞0区域作圆周运动的圆心．
由几何关系可得：
粒子在y＜0区域内作圆周运动的弦长 

.

MQ

=(1+

3

2

2

)a
粒子在y＜0区域内作圆周运动的半径 R1=

3+ 2

2

a…④
带电粒子在磁场中作圆厨运动的半径公式R=

mv

qB

…⑤
由③④⑤式可得：B1=

2(3- 2 )B0

7

…⑥
当粒子通过y轴时速度方向沿y轴正向时，粒子运动的轨迹如图2所示．
设粒子第一次、第二次通过x轴上的点为分别为T、S，粒子在y＜0区域作圆周运动的半径为R₂，y＜0区域的磁感应强度大小为B₂
由几何关系可以求得：R2=

3- 2

2

a…⑦
由③④⑦式可得：B2=

2(3+ 2 )B0

7

…⑧
（2）设粒子在两种情况下，第2n次通过x轴时离O点的距离分别为S_I、S_II，当粒子通过y轴时速度方向沿y轴负向时，由几何关系可推算出：SI=n(1+

2

2

)a（n∈N⁺）…⑨
当粒子通过：SII=n(1-

2

2

)a（n∈N⁺）…⑩
答：（1）y＜0的区域内磁场的磁感应强度大小

2(3- 2 )B0

7

或；
（2）粒子第2n（n∈N⁺）次通过x轴时离O点的距离（本问只需写出结果）．

点评：考查了带电离子在磁场中的运动，会定圆心、找半径，结合圆周运动求相关量．注意多解问题．