Question

4．一违章汽车以速度v₁匀速行驶，警车在汽车经过它时开始启动，先以加速度a匀加速运动，匀加速能达到的最大速度为v₂，要求警车尽快追上汽车（v₂＞v₁），求：
（1）警车追上汽车前与汽车的最远距离？
（2）经过多长时间警车追上汽车？

Answer 1

分析 （1）当两者速度相等时相距最远
（2）根据警车与违章车的位移关系，利用好位移时间公式求的经历的时间

解答 解：（1）当速度相等时两车距离最大，故经历的时间为t则at=v₁，解得：t=$\frac{{v}_{1}}{a}$，
在时间t内两车的位移为：
${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$，
${x}_{2}={v}_{1}t=\frac{{v}_{1}^{2}}{a}$，
故有：$△x={x}_{2}-{x}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$
（2）警车达到最大速度所需时间为t′，即：$t′=\frac{{v}_{2}}{a}$
在t′内警车通过的位移为${x}_{警}=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}$，违章车通过的位移为${x}_{违}={v}_{1}t=\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{a}$，当x_警=x_违时，所需时间为：t=t$′=\frac{{v}_{2}}{a}$
当x_警＞x_违时，设经历时间为t″，则$\frac{1}{2}at{″}^{2}={v}_{1}t″$，
解得：$t″=\frac{2{v}_{1}}{a}$
当x_警＜x_违时，设经历时间为t_总，则${v}_{1}{t}_{总}=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}+{v}_{2}（{t}_{总}-\frac{{v}_{2}}{a}）$，
解得：${t}_{总}=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a（{v}_{2}-{v}_{1}）}$
答：（1）警车追上汽车前与汽车的最远距离为$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$
（2）警车追上汽车可能的时间为$\frac{{v}_{2}}{a}$或者$\frac{2{v}_{1}}{a}$，或者$\frac{{v}_{2}^{2}}{2a（{v}_{2}-{v}_{1}）}$

点评 本题主要考查了追击相遇问题，关键是在第二问中抓住位移相等时警车的速度是否达到最大速度即可