Question

1．如图所示，杆AB搁置在半径为R的半圆柱上，A端沿水平面以速率v做直线运动，杆与水平面夹角用θ表示．图示瞬时，杆与半圆柱相切于C点，此时杆上C点的速度大小v_C是多少？圆柱上与杆相切的切点移动的速度v′_C是多少？

Answer 1

分析 C点的速度延杆子的方向，则V_c=Vcosθ；在很短的时间△t内，A可以看做绕C以AC为半径做圆周运动，而C处的切点绕圆柱的圆心做圆周运动，两点的角速度相同．则有$\frac{vcosθ}{\overline{AC}}=\frac{v{′}_{c}}{R}$，求出V'_c即可．

解答 解：A点的速度可以分解为沿杆的方向与垂直于杆的方向，如图，
则C点的速度延杆子的方向，则有：V_c=v₁=vcosθ
在很短的时间△t内，A可以看做绕C以AC为半径做圆周运动，而C处的切点绕圆柱的圆心做圆周运动，两点的角速度相同，由$ω=\frac{v}{r}$．
则有$\frac{vcosθ}{\overline{AC}}=\frac{v{′}_{c}}{R}$，
由几何关系：$tanθ=\frac{R}{\overline{AC}}$
所以：$v{′}_{c}=\frac{R}{\overline{AC}}•v•cosθ=v•tanθ•cosθ=v•sinθ$
答：杆上C点的速度大小v_C是vcosθ，圆柱上与杆相切的切点移动的速度v′_C是vsinθ．

点评 该题考查运动的合成与分解，难点在于圆柱上与杆相切的切点移动的方向沿圆弧的切线的方向，所以切点的速度是切点的瞬时角速度与半径的乘积．