Question

【题目】我国将于2020年首次探测火星。火星与地球的环境非常相近，很有可能成为人类的第二个家园。已知火星的质量为m，火星的半径为R，太阳质量为M，且，万有引力常量为G。太阳、火星均可视为质量分布均匀的球体。不考虑火星自转。

（1）设想在火星表面以初速度v0竖直上抛一小球，求小球从抛出至落回抛出点所经历的时间t。

（2）为简化问题，研究太阳与火星系统时可忽略其他星体的作用，只考虑两者之间的引力作用。

a．通常我们认为太阳静止不动，火星绕太阳做匀速圆周运动。已知火星绕太阳运动的轨道半径为r，请据此模型求火星的运行周期T1。

b．事实上太阳因火星的吸引不可能静止，但二者并没有因为引力相互靠近，而是保持间距r不变。请由此构建一个太阳与火星系统的运动模型，据此模型求火星的运行周期T2与T1的比值；并说明通常认为太阳静止不动的合理性。

Answer 1

【答案】（1）；（2）a.；b. .

【解析】

（1）设火星表面的重力加速度为g，则

①

火星表面质量为m1的物体所受重力与万有引力相等，有

②

联立①②式可得

（2）a.对火星，万有引力提供向心力，有

可得

③

b.太阳与火星构成“双星”模型，即二者都围绕它们连线上的某一定点O做周期相同的匀速圆周运动。设火星的运行半径为r1，太阳的运行半径为r2。

对火星有

④

对太阳有

⑤

r1+r2=r ⑥

联立③④⑤⑥式可得

⑦

联立④⑤⑥式可得

⑧

一方面，因，由⑦式得，可见运行周期几乎相等：另一方面，由⑧式得r2≈0，即太阳几乎与定点O位置重合，所以通常认为太阳静止不动是合理的。