Question

12．我校工人搬运书本资料上楼运用了传送带，如图所示，电动机带着绷紧的传送带始终以v₀=2m/s的速度运动，传送带与水平面的夹角θ=30°，现把一包质量为m=10kg的书本轻轻地放在皮带的底端，经过一段时间后，书本被送到高h=2m的平台上，已知书本与皮带之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，除此之外，不记其他损耗，书本可视为质点．求将这包书本传送上平台过程中系统由摩擦生热产生的内能是多少？电动机由于传送这包书本多消耗的电能是多少？（取g=10m/s²）

Answer 1

分析 要分析书本的运动情况，首先分析其受力情况，书本受到重力、支持力和沿斜面向上的摩擦力作用，合力沿斜面向上，做匀加速运动，由牛顿第二定律求出加速度．由运动学公式求出物体速度达到与传送带相同时通过的位移，再根据此位移与传送带长度的关系，分析接下来书本的运动情况，由位移公式求书本与传送带间的相对位移，产生的热量根据Q=F_f•x_相对计算即可；电动机多消耗的能量转化为书本的动能、重力势能以及摩擦产生的内能．

解答 解：书本轻轻地放在传送带底端后，受到重力、支持力和沿斜面向上的滑动摩擦力作用，由牛顿第二定律得：
μmgcosθ-mgsinθ=ma   
得匀加速的加速度为：a=g（μcosθ-sinθ）=2.5m/s²
设工作加速到v₀=2m/s时运动的位移为x，则有：
2ax=v₀²  
得：x=0.8m
可得：x＜$\frac{h}{sinθ}$=4m
所以工件在传送带上先匀加速运动后匀速运动．书本匀加速过程所用时间为：
t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=0.8s
此过程中传送带通过的位移为：x′=v₀t=1.6m
传送带与书本间的相对位移大小为：x_相对=x′-x=0.8m
所以由摩擦生热产生的内能为：
Q=F_f•x_相对=μmgcosθ•x_相对=60J
电动机多消耗的能量转化为工件的动能和重力势能以及摩擦产生的内能，则有：
△E=$\frac{1}{2}$mv₀²+mgh+Q=280J
答：系统由摩擦生热产生的内能是60J，电动机由于传送这包书本多消耗的电能是280J．

点评 本题的解题关键是根据受力情况分析书本的运动情况，再由牛顿第二定律和运动学公式结合求解位移和相对位移，要注意摩擦生热与相对位移有关．