Question

两块足够大的平行金属板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）．在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）．若电场强度E₀、磁感应强度B₀、粒子的比荷q/m均已知，且t0=

2πm

qB0

，两板间距h=

10π2mE0

q B 2 0

．
（1）求粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值．
（2）求粒子在两极板间做圆周运动的最大半径（用h表示）．
（3）若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）．

Answer 1

分析：根据电场和磁场的变化，来对粒子在各个时间段内的受力分析是解决该题的关键，此题电场力和磁场力不是同时存在的，所以要分别对小球在电场力和磁场力作用下的运动进行分析，只在电场力作用时，粒子做加速直线运动，在只有洛伦兹力作用时，粒子做匀速圆周运动．
（1）在0～t₀时间，只有电场力，粒子做加速运动，可运用运动学公式和牛顿第二定律进行求解．
（2）最大半径受到两板之间的距离的影响，首先对其运动轨迹进行分析，结合板间距离，可分析出粒子能做几个完整的圆周运动，从而得知做圆周运动的最大半径．

解答：解：
解法一：
（1）设粒子在0～t₀时间内的位移大小为s₁，由运动学公式和你对第二定律有：
s1=

1

2

a

t

2 0

，a=

qE0

m

又已知t0=

2πm

qB0

，h=

10π2mE0

q B 2 0

联立以上两式解得：

s1

h

=

1

5

．
（2）粒子在t₀～2t₀时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动．设运动速度大小为v₁，轨道半径为R₁，周期为T，则有：
v₁=at₀，qv1B0=

m v 2 1

R1

联立以上两式得R1=

h

5π

又T=

2πm

qB0

，即粒子在t₀～2t₀时间内恰好完成一个周期的圆周运动．在2t₀～3t₀时间内，粒子做初速度为v₁的匀加速直线运动，设位移为s₂，则有：
s2=v1t0+

1

2

a

t

2 0

解得：s2=

3

5

h
由于s₁+s₂＜h，所以粒子在3t₀～4t₀时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v₂，半径为R₂，则有：
v₂=v₁+at₀，qv2B0=

m v 2 2

R2

解得：R2=

2h

5π

由于s₁+s₂+R₂＜h，粒子恰好又能完成一个周期的圆周运动．
在4t₀～5t₀时间内，粒子运动到正极板（如图1所示）．因此粒子的最大半径为：
R2=

2h

5π

．
（3）粒子在板间运动的轨迹如图2所示．
解法二：
由题意可知，电磁场的周期为2t₀，前半周期粒子受电场作用做匀加速直线运动，加速度大小为：
a=

qE0

m

，方向向上．
后半周期粒子受磁场作用多匀速圆周运动，周期为T，则有：
T=

2πm

qB0

=t0
粒子恰好完成一次匀速圆周运动．至第n个周期末，粒子位移大小为s_n，有：
sn=

1

2

a(nt0)2
又已知sn=

n

5π

h
粒子速度大小为v_n=ant₀，粒子做圆周运动的半径为：
Rn=

mvn

qB0

，
解得：Rn=

nh

5π

，显然s₂+h＜h＜s₃
所以有：（1）粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值为

s1

h

=

1

5

（2）粒子在两极板间做圆周运动的最大半径R2=

2h

5π

（3）粒子在板间运动的轨迹图见解法一中的图2．
答：（1）粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值为

s1

h

=

1

5

（2）粒子在两极板间做圆周运动的最大半径R2=

2h

5π

（3）粒子在板间运动的轨迹图为图2．

点评：带点粒子在复合场中的运动本质是力学问题
1、带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题．
2、分析带电粒子在复合场中的受力时，要注意各力的特点，如带电粒子无论运动与否，在重力场中所受重力及在匀强电场中所受的电场力均为恒力，而带电粒子在磁场中只有运动 （且速度不与磁场平行）时才会受到洛仑兹力，力的大小随速度大小而变，方向始终与速度垂直，故洛仑兹力对运动电荷只改变粒子运动的方向，不改变大小．