Question

15．如图所示，在光滑水平面内建立直角坐标系xOy，一质点在该平面内O点受沿x正方向、大小为F的力的作用由静止开始做匀加速直线运动．经过时间t，质点运动到A点，A、O两点间的距离为L；在A点作用力突然变为沿y轴正方向，大小仍为F，再经过时间t，质点运动到B点；在B点将作用力的方向始终与速度方向垂直且改变作用力的大小，使质点在平面内以L为半径、圆心为O，做匀速圆周运动．求：
（1）质点的质量m；
（2）质点做圆周运动的向心力F₂；
（3）从B点开始计时，质点运动至距y轴最远的距离L₂及所用的时间t₂．

Answer 1

分析 （1）质点从O到A做匀加速直线运动，从A到B做类平抛运动，从B到C做匀速圆周运动．研究OA过程，由牛顿第二定律和位移公式结合求出质点的质量m．
（2）研究AB过程，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和分速度公式求出质点到达B点的速度，再由向心力公式F_n=m$\frac{{v}^{2}}{L}$求向心力F₂．
（3）质点运动至距y轴最远时速度与y轴正方向平行，由几何关系得出距y轴最远的距离L₂，进而求所用的时间t₂．

解答 解：（1）从O到A物体做匀加速运动，在此过程中，由牛顿第二定律：
F=ma
由运动学得：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
联立解得：m=$\frac{F{t}^{2}}{2L}$
（2）质点到达A点的速度设为v，则有：L=$\frac{v}{2}t$
可得：v=$\frac{2L}{t}$
从A到B质点做类平抛运动，在x方向做匀速直线运动，在y方向做匀加速直线运动，加速度为：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{2L}{{t}^{2}}$
到达B点时，沿y轴方向的分速度为：v_y=at=$\frac{2L}{t}$
所以到达B点的速度为：v_B=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}L}{t}$，方向与x轴正方向成45°角．
质点做圆周运动的向心力为：F₂=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$=4F
（3）质点运动至距y轴最远时速度与y轴正方向平行，由几何关系得：
质点距y轴最远的距离为：L₂=L+vt+L（1-cos45°）=（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）L
所用的时间为：t₂=$\frac{\frac{π}{4}•L}{{v}_{{B}_{\;}}}$=$\frac{\sqrt{2}πt}{16}$
答：（1）质点的质量m是$\frac{F{t}^{2}}{2L}$；
（2）质点做圆周运动的向心力F₂是4F．
（3）从B点开始计时，质点运动至距y轴最远的距离L₂是（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）L，所用的时间t₂是$\frac{\sqrt{2}πt}{16}$．

点评 解决本题的关键要明确质点的运动过程，采用程序法分析，要知道质点经历了匀加速直线运动、类平抛运动、匀速圆周运动，结合牛顿第二定律和运动学公式灵活进行研究．