Question

如图所示,一倾角为θ=45°的斜面固定于地面,斜面顶端离地面的高度h₀=1 m,斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板,在斜面顶端自由释放一质量m=0.09 kg的小物块（视为质点）.小物块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.2.当小物块与挡板碰撞后,将以原速返回.重力加速度g取10 m/s².在小物块与挡板的前4次碰撞过程中,挡板给予小物块的总冲量是多少？

Answer 1

答案   0.4(3+) N·s

解析   解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动,到达斜面底端时速度为v,由功能关系得：mgh=mv2+μmgcosθ                   ①

以沿斜面向上为动量的正方向.按动量定理,碰撞过程中挡板给小物块的冲量为:

I=mv-m(-v)                              ②

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h′,则

mv2=mgh′+μmgcosθ               ③

同理,有mgh′=mv′2+μmgcosθ        ④

I′=mv′-m(-v′)                            ⑤

式中,v′为小物块再次到达斜面底端时的速度,I′为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量.

由①②③④⑤式得I′=kI                  ⑥

式中k=                           ⑦

由此可知,小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数,首项为

I1=2m                 ⑧

总冲量为

I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3)                 ⑨

由1+k+k2+…+kn-1=                    ⑩

得I=        

代入数据得I=0.4(3+) N·s               

解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动,小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a,依牛顿第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma           ①

设小物块与挡板碰撞前的速度为v,则：

v2=2a                                                                  ②

以沿斜面向上为动量的正方向.按动量定理,碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

I=mv-m(-v)                                                              ③

由①②③式得

I=2m                                                       ④

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a′,依牛顿第二定律有：

mgsinθ+μmgcosθ=ma′                                                  ⑤

小物块沿斜面向上运动的最大高度为

h′=sinθ                                                               ⑥

由②⑤⑥式得

h′=k2h                                                                 ⑦

式中k =                                                          ⑧

同理,小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量为：

I′=2m                                                 ⑨

由 ④⑦⑨式得I′=kI                                                     ⑩

由此可知,小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数,首项为

I1=2m                                                 

总冲量为

I=I1+I2+I3+I4=I1（1+k+k2+k3）              

由1+k+k2+…+kn-1=                 

得I=2m              

代入数据得I=0.4(3+) N·s