Question

4．假设人类登上火星后，在火星上进行了如下实验，在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点的速度为v，轨道半径为r．若已知火星的半径为R，引力常量为G，则火星质量为（　　）

• A． $\frac{{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$
• B． $\frac{5{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$
• C． $\frac{{v}^{2}{R}^{3}}{G{r}^{2}}$
• D． $\frac{5{v}^{2}{R}^{3}}{G{r}^{2}}$

Answer 1

分析 小球在最高点的速度满足火星的引力提u供其沿圆周运动的向心力，由牛顿第二定律列方程，即可求得火星表面的重力加速度；由火星表面的物体的重力约等于物体与火星的万有引力可得火星的质量．

解答 解：设小球的质量为m，火星的质量为M，因小球在最高点恰好完成圆周运动，设最高点时小球速度为v，由牛顿第二定律得：
mg=$\frac{{mv}^{2}}{r}$
得g=$\frac{{v}^{2}}{r}$
对于任一月球表面的物体m′，万有引力等于其重力，即：
m′g=$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$
由③④得，M=$\frac{{v}^{2}{R}^{2}}{Gr}$   选项A正确
故选：A

点评 在任意星体的表面都有物体的万有引力等于重力这一等式常用，所谓第一宇宙速度即是万有引力恰提供其绕星球表面运行的向心力时的速度，此时轨道半径就是星球的半径．