Question

【题目】如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点．已知水平轨道AB长为L．求：

（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ．
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？
（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上．如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道．

Answer 1

【答案】
（1）解：小物块最终停在AB的中点，在这个过程中，由动能定理得：﹣μmg（L+0.5L）=﹣E

得：μ=

答：小物块与水平轨道的动摩擦因数μ为 ．

（2）解：若小物块刚好到达D处，速度为零，同理，有：﹣μmgL﹣mgR=﹣E

解得CD圆弧半径至少为：R=

答：为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是 ．

（3）解：设物块以初动能E′冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R，由动能定理得：

﹣μmgL﹣1.5mgR=﹣E′

解得：E′=

物块滑回C点时的动能为EC=1.5mgR= ，由于EC＜μmgL= ，故物块将停在轨道上．

设到A点的距离为x，有﹣μmg（L﹣x）=﹣EC

解得：x= L

即物块最终停在水平滑道AB上，距A点 L处．

答：物块最终停在水平滑道AB上，距A点 L处．

【解析】（1）在小物块运动的整个过程中，重力做功为0，摩擦力做负功﹣1.5μmgL，根据动能定理求解μ．（2）小物块恰好不从轨道的D端离开轨道时，到达D点速度为零，由动能定理求出R．（3）根据动能定理求解出小物块恰好冲上最大高度1.5R时的初动能E′，物块滑回C点时的动能EC=1.5mgR，分析EC与滑块从B到A克服摩擦力做功的大小关系，即可判断物块能否停在水平轨道上．并能根据动能定理求解滑块停止在轨道何处．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用动能定理的综合应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷．