Question

20．在一些科幻电影中，我们常常会看到这样的场景，人类将地球打通，建造直通地球两端的隧道（坠梯），人们乘坐坠梯直接从地球一段自由下落到另外一端，整个过程完全由引力操纵，已知地球半径为R，万有引力常量G，地球是质量分布均匀的球体密度为ρ．求：
（1）地球表面的加速度．
（2）坠梯内重力加速度随距离地心距离x的变化规律（已知质量分布均匀的球壳内部物体的引力为0）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力列式求解即可；
（2）质量分布均匀的球壳内部物体的引力为零，然后根据万有引力定律和牛顿第二定律列式求解加速度即可．

解答 解：（1）在地球表面，重力等于万有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
其中：
M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
联立解得：
g=$\frac{4}{3}πGρR$   ①
（2）质量分布均匀的球壳内部物体的引力为零，在地球内部距离地心x距离处，根据牛顿第二定律，有：
G$\frac{M′m}{{x}^{2}}=ma$
其中：
M′=ρ•$\frac{4}{3}π{x}^{3}$
解得：
a=$\frac{4}{3}πGρx$  ②
联立①②解得：
$a=\frac{x}{R}g$
答：（1）地球表面的加速度为$\frac{4}{3}πGρR$．
（2）坠梯内重力加速度随距离地心距离x的变化规律为$a=\frac{x}{R}g$．

点评 本题关键是要运用“质量分布均匀的球壳内部物体的引力为零”的结论，然后万有引力定律和牛顿第二定律列式分析．