Question

如图所示，质量M=4kg的小车静止于光滑水平面上，并靠近固定在水平面上的桌子右边，其上表面与光滑的水平桌面相平，桌面边缘放有一质量为m₂=2kg的小滑块Q．水平轻弹簧左端固定，质量m₁=0.5kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触，此时弹簧处于原长．现用水平向左的推力将P缓慢推至B点（弹簧仍在弹性限度内），推力做功为W_F=16J，撤去推力后，P沿桌面运动并与Q发生碰撞，碰后P向左运动至A、B的中点时速度恰好为零，而Q最终停在小车上．已知同一轻弹簧具有的弹性势能与其形变量的平方成正比，Q与小车表面间动摩擦因数μ=0.3，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）P与Q碰撞前的速度大小v₀和P与Q碰撞过程中系统损失的机械能△E
（2）小车的长度L至少为多少．

Answer 1

（1）压缩弹簧具有弹性势能：E_P=W_F=16J，
当弹簧完全推开物块P时有：E_P=

1

2

mv₀²，
解得：v₀=

2EP m1

=

2×16 0.5

=8m/s，
设P、Q发生碰撞后的速度大小分别为v₁、v₂，
则由题设有：

1

2

m₁v₁²=

1

4

E_P，
代入数据解得：v₁=4m/s；
P与Q碰撞过程动量守恒，以P的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
m₁v₀=-m₁v₁+m₂v₂，
代入数据解得：v₂=3m/s，
所以P与Q碰撞过程中系统损失的机械能：
△E=

1

2

m₁v₀²-

1

2

m₁v₁²-

1

2

m₂v₂²，
代入数据解得：△E=3J；
（2）设小滑块Q最终停在小车上，它们一起运动的速度为v，以Q的速度初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v₂=（M+m₂）v，
代入数据解得：v=

m2v2

M+m2

=

2×3

4+2

=1m/s，
由能量守恒定律得：μm₂gd=

1

2

m₂v₂²-

1

2

（M+m₂）v²，
解得：d=

m2 v 22 -(M+m2)v2

2μm2g

=

2×32-(4+2)×12

2×0.3×2×10

=1m，
所以小车的长度至少为L=1m；
答：（1）P与Q碰撞前的速度大小v₀和P与Q碰撞过程中系统损失的机械能为3J．
（2）小车的长度L至少为1m．