Question

11．如图所示，人造卫星P（可看作质点）绕地球做匀速圆周运动．在卫星运行轨道平面内，过卫星P作地球的两条切线，两条切线的夹角为θ，设卫星P绕地球运动的周期为T，线速度为v，万有引力常量为G．下列说法正确的是（　　）

• A． θ越大，T越大
• B． θ越小，T越大
• C． 若测得T和θ，则地球的平均密度为ρ=$\frac{3π}{{G{T^2}{{（{tan\frac{θ}{2}}）}^3}}}$
• D． 若测得T和θ，则地球的平均密度为ρ=$\frac{3π}{{G{T^2}{{（{sin\frac{θ}{2}}）}^3}}}$

Answer 1

分析 由θ可确轨道半径，再据万有引力提供向心力确定各量与半径的关系可得各选项的正误．

解答 解：A、B、半径r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$（R为地球的半径），可知θ越大，半径越小，又运动周期：T=2$π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，则半径越小，周期越小；θ越小，半径越大，T越大．则A错误，B正确．
   C、D、测得T和θ，由万有引力提供向心力：m$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=G$\frac{\frac{4}{3}π{R}^{3}ρm}{（\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}）^{2}}$ 得ρ=$\frac{3π}{{G{T^2}{{（{sin\frac{θ}{2}}）}^3}}}$，则D正确，C错误
故选：BD

点评 由几何知识确定轨道半径的表达式，明确万有引力提供向心力即可求解．