Question

2．如图所示，间距为L，电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m，电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连连，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场中，开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为v₁，b的速度为v₂．不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：
（1）t时刻a的加速度值；
（2）比较t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总功率与安培力做功的功率间的关系；
（3）从开始到t时刻a、b间距增加量x为多少？
（4）设导轨足够长，最终a、c间细绳的拉力．

Answer 1

分析 （1）由F=BIL求出棒a、b所受的安培力大小，根据牛顿第二定律分别研究棒ab和A物体，可求解加速度．
（2）单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能，求出总功率和热功率再求比值即可．
（3）从开始到t时间内对b根据动量定理通过回路的电荷量，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得$q=\frac{△∅}{2R}=\frac{BLx}{2R}$，由此解出x；
（4）最终稳定时二者的加速度相同，以b、a为研究对象求解加速度大小，以C为研究对象，根据牛顿第二定律绳子拉力．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势为
$E=\frac{△Φ}{△t}=BL（{v}_{1}-{v}_{2}）$  
回路中感应电流  $I=\frac{E}{2R}$    
根据牛顿第二定律：
对a有：T-BIL=ma              
对C有：Mg-T=Ma                  
联立以上各式解得：$a=\frac{2MgR-{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{2R（M+m）}$；    
（2）单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能，所以，t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率，即
P_总=BIl•v₁
联立得：${P}_{总}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）•{v}_{1}}{2R}$
安培力对b做功的功率：P_热=$\frac{{E}^{2}}{2R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2R}$；
所以$\frac{{P}_{总}}{{P}_{热}}=\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}-{v}_{2}}$，
即：P_总=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}-{v}_{2}}{P}_{热}$；
（3）从开始到t时间内对b根据动量定理可得：$BL\overline{I}t=m{v}_{2}$，
而$\overline{I}t=q$，
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得：$q=\frac{△∅}{2R}=\frac{BLx}{2R}$
联立解得：$x=\frac{2mR{v}_{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）最终稳定时二者的加速度相同，设为a′，
以b为研究对象，有：BI′L=ma′，
以a和C为研究对象，有：Mg-BI′L=（m+M）a′
解得：a′=$\frac{Mg}{M+2m}$；
以C为研究对象，根据牛顿第二定律可得：Mg-T=Ma′，
解得：T=$\frac{2Mmg}{M+2m}$．
答：（1）t时刻a的加速度值$\frac{2MgR-{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{2R（M+m）}$；
（2）比较t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总功率与安培力做功的功率间的关系为P_总=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}-{v}_{2}}{P}_{热}$；
（3）从开始到t时刻a、b间距增加量x为$\frac{2mR{v}_{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）设导轨足够长，最终a、c间细绳的拉力为$\frac{2Mmg}{M+2m}$．

点评 本题综合考查了法拉第电磁感应定律以及电磁感应中的能量守恒．关键理清导体棒的运动情况，选择合适的定律进行求解．对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．