Question

2013年6月11日下午，神舟十号载人飞船进入近地点距地心为r₁、远地点距地心为r₂的椭圆轨道正常运行．已知地球质量为M，引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，飞船在近地点的速度为v₁，飞船的质量为m．若取距地球无穷远处为引力势能零点，则距地心为r、质量为m的物体的引力势能表达式为E_p=-

GMm

r

，求：
（1）地球的半径；
（2）飞船在远地点的速度．

Answer 1

（1）设地球表面有质量为m的物体，根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力G

Mm

R2

=mg
解得地球的半径R=

GM g

（2）由于飞船在椭圆轨道上机械能守恒，所以飞船在近地点所具有的机械能即为飞船在椭圆轨道上运行时具有的机械能，则E=

1

2

mv12-G

Mm

r1

飞船在椭圆轨道上运行，根据机械能守恒定律得

1

2

mv12-G

Mm

r1

=

1

2

mv22-G

Mm

r2

解得飞船在远地点的速度v2=

v12+ GM r2 - GM r1

答：（1）地球的半径为

GM g

；
（2）飞船在远地点的速度为

v12+ GM r2 - GM r1

．