Question

11．如图所示，运动员稳坐在水平光滑轨道车上以速率v₀向右运动．若运动员能以下列方式完成接球和抛球：接到水平相向运动，动量为P、质量为m的小球后，经过△T时间再以同样大小的动量P将小球向右水平抛出，并紧接着不断重复上述过程．最终运动员与轨道车停下来．设运动员与轨道车的总质量为M．求运动员从第一次接球至停下来前进的总路程．

Answer 1

分析 每次人接球和抛球的过程，人和球的总动量守恒．在接与抛之间小车匀速运动．根据动量守恒定律和运动学公式分别研究第一次接、第二接球…运动员的路程，运用归纳法得到总路程．

解答 解：人接球过程中动量守恒，共同速度设为v₁，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
   Mv₀-P=（M+m）v₁，得 v₁=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$
之后在△T时间内运动员通过的距离 s₁=v₁△T=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$△T
抛出球后的速度为  v₁′=$\frac{M{v}_{0}-2P}{M}$．
第二次过程：Mv₁′-P=（M+m）v₂，v₂=$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$
之后在△T时间内运动员通过的距离 s₂=v₂△T=$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$△T
抛出球后的速度为  v₂′=$\frac{M{v}_{0}-4P}{M}$
最后抛球后运动员与轨道车最终停止，设共k次过程，v_k′=0，Mv₀-2kP=0，k=$\frac{M{v}_{0}}{2P}$
运动员前进的总路程为 s=s₁+s₂+…+s_k=$\frac{M{v}_{0}-P}{M+m}$△T+$\frac{M{v}_{0}-3P}{M+m}$△T+…=k$\frac{M{v}_{0}-kP}{M+m}$△T=$\frac{{M}^{2}{v}_{0}^{2}△T}{4P（M+m）}$
若最后一次接球后运动员与轨道车恰好静止，不需再抛球，则 Mv₀-（2k-1）P=0
所以总路程为 s=s₁+s₂+…+s_k-1=（k-1）$\frac{M{v}_{0}-（k-1）P}{M+m}$△T=$\frac{{（M}^{2}{v}_{0}^{2}-{P}^{2}）△T}{4P（M+m）}$
答：运动员从第一次接球至停下来前进的总路程为$\frac{{（M}^{2}{v}_{0}^{2}-{P}^{2}）△T}{4P（M+m）}$．

点评 本题理清运动过程，善于建立模型，关键要运用归纳法得到速度的表达式．