Question

6．某行星自转可以忽略，且表面没有大气层，宇航员在该行星表面附近h处自由释放一个小球，落地时间为t，已知该行星半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该行星的第一宇宙速度；
（2）该行星的平均密度．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体求得星球表面的重力加速度，再根据重力与万有引力相等据万有引力提供圆周运动向心力求得行星的第一宇宙速度；
（2）根据重力与万有引力相等求得行星的质量，再根据密度公式求得密度．

解答 解：（1）根据自由落体运动规律h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可得星球表面的重力加速度
$g=\frac{2h}{{t}^{2}}$
在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提供圆周运动向心力有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
（2）在行星表面重力与万有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{2h}{{t}^{2}}$
可得行星的质量M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
所以行星的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3h}{2πRG{t}^{2}}$
答：（1）该行星的第一宇宙速度为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（2）该行星的平均密度为$\frac{3h}{2πRG{t}^{2}}$．

点评 在星球表面重力与万有引力相等，万有引力提供卫星圆周运动的向心力，掌握自由落体运动规律及密度公式是正确解题的关键．