Question

3．如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d．杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处．现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是（　　）

• A． 环到达B处时，重物上升的高度h=$\frac{d}{2}$
• B． 环到达B处时，环与重物的速度大小相等
• C． 环从A到B，环减少的机械能大于重物增加的机械能
• D． 环能下降的最大高度为$\frac{4d}{3}$

Answer 1

分析 环刚开始释放时，重物由静止开始加速．根据数学几何关系求出环到达B处时，重物上升的高度．对B的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，从而求出环在B处速度与重物的速度之比．环和重物组成的系统机械能是守恒的．

解答 解：A、根据几何关系有，环从A下滑至B点时，下降的高度为d，则重物上升的高度为：h=$\sqrt{2}$d-d=（$\sqrt{2}$-1）d，故A错误；
B、环到达B处时，对环B的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有：v_环cos45°=v_物，所以有v_环=$\sqrt{2}$v_物，故B错误；
C、环下滑过程中无摩擦力做功，故系统机械能守恒，即有环减小的机械能等于重物增加的机械能，故C错误；
D、设环下滑到最大高度为h时环和重物的速度均为0，此时重物上升的最大高度为$\sqrt{{h}^{2}+{d}^{2}}$-d，根据系统的机械能守恒有：mgh=2mg（$\sqrt{{h}^{2}+{d}^{2}}$-d ）
解得：h=$\frac{4d}{3}$，故D正确．
故选：D

点评 解决本题的关键知道系统机械能守恒，知道环沿绳子方向的分速度的等于重物的速度．要注意环下降的高度和重物上升的高度是不等，应根据几何知识求解．