Question

如图所示，x轴与水平传送带重合，坐标原点O在传送带的左端，传送带长L＝8m，传送带右端Q点和竖直光滑圆轨道的圆心在同一竖直线上，皮带匀速运动的速度v₀＝5m/s。一质量m＝1kg的小物块轻轻放在传送带上x_P＝2m的P点，小物块随传送带运动到Q点后恰好能冲上光滑圆弧轨道的最高点N点。小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s²。求：

（1）N点的纵坐标；
（2）从P点到Q点，小物块在传送带上运动系统产生的热量；
（3）若将小物块轻放在传送带上的某些位置，小物块均能沿光滑圆弧轨道运动（小物块始终在圆弧轨道运动不脱轨）到达纵坐标y_M=0.25m的M点，求这些位置的横坐标范围。

Answer 1

1m  12.5J  7m≤x≤7 .5m和0≤x≤5 .5m

试题分析：可先求出P到Q过程的加速度，在根据运动学公式列式求解出Q点的速度；在N点，重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律和匀速圆周运动公式可求出半径，求出摩擦力和相对位移可根据Q=f?△S求出热量．当物块能到达N点时不会脱离轨道，若能到达的高度超过半径又没到达N点则会脱离轨道，若能到达高度不超过半径则不会脱离轨道，可根据能量守恒求出对应的位移，从而求出坐标；
小物块在传送带上的加速度
小物块与传送带共速时，所用的时间
运动的位移
故有：
由机械能守恒定律得，解得
（2）小物块在传送带上相对传送带滑动的位移

产生的热量
（3）设在坐标为x₁处将小物块轻放在传送带上，若刚能到达圆心右侧的M点，由能量守恒得：
μmg(L－x₁)＝mgy_M       
代入数据解得x₁＝7.5 m
μmg(L－x₂)＝mgy_N   
代入数据解得x₂＝7 m
若刚能到达圆心左侧的M点，由(1)可知x₃＝5.5 m