Question

2．如图所示的竖直平面内有范围足够大，水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一绝缘?形管杆由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内．PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场界线上，NMAP段是光滑的，现有一质量为m、带电量为+q的小环套在MN杆，它所受到的电场力为重力的$\frac{3}{4}$．现在M右侧D点静止释放小环，小环刚好能到达P点，
（1）求DM间的距离x₀．
（2）求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时弯杆对小环作用力的大小．
（3）若小环与PQ间的动摩擦因数为μ（设最大静止摩擦力与滑动摩擦力大小相等）．现将小环移至M点右侧6R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）对D到P为研究过程，运用动能定理求出DM间的距离．
（2）对D到A为研究过程，运用动能定理求出A点的速度，根据牛顿第二定律，沿半径方向上合力提供向心力，求出弯杆对小环作用力的大小．
（3）需讨论摩擦力的大小与电场力的大小关系，若摩擦力大于等于电场力，则小环将停在PQ上某处；若摩擦力小于电场力，则环最终在DP间往复运动．根据动能定理求出摩擦力做的功．

解答 解：（1）小环刚好能到达P点，说明小环在P点的速度 v_P=0
由动能定理得：
qEx₀-mg•2R=0
又qE=$\frac{3}{4}$mg
解得：x₀=$\frac{8}{3}$R
（2）在小环由D点到A点的过程中，由动能定理得：
qE（x₀+R）-mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A点，由牛顿第二定律得：
N_A-qv_AB-qE=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：N_A=$\frac{17}{4}$mg+$\frac{qB\sqrt{14gR}}{2}$
（3）若μmg大于或等于qE，即μ大于或等于$\frac{3}{4}$，则小环将停在PQ上某处，设小环停的位置离P点的距离为x．
由能量守恒定律得：
qE（4R-x）-2mgR-μmgx=0
解得：x=$\frac{4R}{4μ+3}$
则克服摩擦力做功为：W_f=$\frac{4μ}{4μ+3}$mgR
若μmg小于qE，即μ小于$\frac{3}{4}$，小环速度为零后将反向运动，在导轨上往复数次，直至到达P点时的速度为零，（因摩擦力作用，小环的动能和重力势能之和会逐渐减小，但小环不会静止在P点，而是在导轨DMAP处往复运动，则有：
W_f=4qER-2mgR=mgR
答：（1）DM间的距离x₀是$\frac{8}{3}$R．
（2）上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时弯杆对小环作用力的大小是$\frac{17}{4}$mg+$\frac{qB\sqrt{14gR}}{2}$．
（3）小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功为$\frac{4μ}{4μ+3}$mgR或mgR．

点评 本题运用动能定理解题时，需合适地选取研究的过程，根据动能定理列出表达式求解，知道洛伦兹力的表达式，要注意做功的正负．