Question

19．如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（　　）

• A． M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$，ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
• B． M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{2}}{G{t}^{2}}$，ρ=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{2}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
• C． M=$\frac{4{π}^{2}{t}^{2}（R+h）^{3}}{G{n}^{2}}$，ρ=$\frac{3π{t}^{2}（R+h）^{3}}{G{n}^{2}{R}^{3}}$
• D． M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$，ρ=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$

Answer 1

分析 探测器绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，求出探测器运行的周期．由土星的万有引力提供探测器的向心力列方程求出土星的质量，由密度公式求出土星的平均密度．

解答 解：探测器绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，则探测器运行的周期为 T=$\frac{t}{n}$
由万有引力提供向心力得 G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
得：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$
由 ρ=$\frac{M}{V}$，V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$ 得：ρ=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$．故D正确、ABC错误．
故选：D

点评 本题题目看似很长，要耐心读题，抓住要点，建立物理模型：探测器绕土星做匀速圆周运动，土星的万有引力提供向心力．