Question

14．如图所示，质量m=1kg的小球穿在无限长的斜杆上，斜杆与水平方向成37°角，斜杆固定不动，小球与斜杆间的动摩擦因数为μ=0.5；小球在平行于斜杆向上的拉力F=15N的作用下，从斜杆的底端由静止向上运动，经2s撤去拉力（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）试求：
（1）小球在前2s内运动的加速度大小；
（2）小球沿斜杆向上运动的总位移；
（3）小球运动到斜杆底端时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）对小球进行受力分析，根据正交分解，运用牛顿第二定律求出小球的加速度．
（2）根据匀变速直线运动的公式求出前2s内的位移和2s末的速度；根据牛顿第二定律求出撤去拉力后的加速度，运用运动学公式求出匀减速直线运动的位移，从而得出向上运动的总位移．
（3）根据牛顿第二定律求出下滑过程的加速度，运用运动学公式求出运动到斜杆底端时的速度大小．

解答 解：（1）设小球在前2 s内的加速度为a，根据牛顿第二定律有：
F-mgsinθ-μmgcosθ=ma
解得：a=$\frac{F-mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=$\frac{15-10×0.6-0.5×10×0.8}{1}m/{s}^{2}$=5m/s²    
（2）前2 s内小球的位移为x₁，有：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$  
解得：x₁=$\frac{1}{2}×5×{2}^{2}m$=10m
撤去外力后小球加速度大小为a'，继续向上做减速运动的位移为x₂，2 s时速度大小为v，则：v=at=5×1m/s=10m/s
根据牛顿第二定律有：mgsinθ+μmgcosθ=ma'
解得：a'=（sinθ+μcosθ）g=（0.6+0.5×0.8）×10m/s²=10m/s²  
速度与位移的关系：v²=2a'x₂              
解得：x₂=$\frac{{v}^{2}}{2a'}=\frac{1{0}^{2}}{2×10}m$=5m                   
故小球沿斜面向上运动的总位移：x=x₁+x₂=15m
（3）小球运动到斜杆低端时的速度大小为v'，向下滑动时加速度为a₁，根据牛顿第二定律有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₁ 
解得：a₁=gsinθ-μgcosθ=2m/s²   
速度与位移的关系：v'²=2a₁x
解得：$v'=\sqrt{2{a}_{1}x}=\sqrt{2×2×15}m/s$=$2\sqrt{15}m/s$
（1）小球在前2s内运动的加速度大小为5m/s²；
（2）小球沿斜杆向上运动的总位移为15m；
（3）小球运动到斜杆底端时的速度大小为$2\sqrt{15}m/s$．

点评 解决本题的关键正确地进行受力分析，以及知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，通过加速度，可以根据力求运动，也可以根据运动求力．