Question

一段凹槽B放置在水平面上，槽与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，槽的内表面光滑，在内表面上有一小球A靠左侧壁放置，此时小球A与槽的右侧壁相距为l，如图所示．A、B的质量均为m．现对槽B施加一个大小等于2mg（g为重力加速度）、方向水平向右的推力F，使B和A一起开始向右运动，当槽B运动的距离为d时，立刻将推力撤去，此后A和B发生相对运动，再经一段时间球A与槽的右侧壁发生碰撞，碰后A和B立刻连在一起运动．
（1）求撤去推力瞬间槽B的速度v的大小
（2）若A碰到槽的右侧壁时，槽已停下，求碰后槽B在水平面上继续滑行的距离x．
（3）A碰到槽的右侧壁时，槽可能已停下，也可能未停下，试讨论球A相对于槽从左侧壁运动至右侧壁所经过的时间t与l和d的关系．

Answer 1

（1）推力作用过程，根据动能定理得
（F-μ?2mg）d=

1

2

?2mv2
将μ=0.5，F=2mg，代入解得，v=

gd

（2）推力撤去后，A球保持匀速运动，A球碰槽的右侧壁时，槽也已停下，碰撞过程动量守恒，则有
mv=2mv′
碰后，由动能是
-μ?2mgx=0-

1

2

?2mv′2
由以上各式得 x=

d

4

（3）槽B向右减速运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律得
μ?2mg=ma
x_B=vt_B-

1

2

a

t

2B

v_B=v-at_B
球A在槽内运动过程做匀速运动，当球碰到槽的右侧壁时，A、B间的位移关系为vt-x_B=l
讨论：
（1）当球A球碰到槽的右侧壁时，槽未停下，则t_B=t，且v_B＞0，可解得球A从离开槽的左侧壁到碰撞右侧壁所经过的时间
t=

2l g

，相应的条件是 l＜

d

2

（2）当球A球碰到槽的右侧壁时，槽已停下，则v_B=0，可解得球A从离开槽的左侧壁到碰撞右侧壁所经过的时间
t=

gd

2g

+

l

gd

，相应的条件是 l≥

d

2

答：
（1）撤去推力瞬间槽B的速度v的大小
（2）若A碰到槽的右侧壁时，槽已停下，求碰后槽B在水平面上继续滑行的距离x等于

d

4

．
（3）A碰到槽的右侧壁时，槽可能已停下，也可能未停下，球A相对于槽从左侧壁运动至右侧壁所经过的时间t与l和d的关系为：
（1）当球A球碰到槽的右侧壁时，槽未停下，则t_B=t，且v_B＞0，可解得球A从离开槽的左侧壁到碰撞右侧壁所经过的时间
t=

2l g

，相应的条件是 l＜

d

2

（2）当球A球碰到槽的右侧壁时，槽已停下，则v_B=0，可解得球A从离开槽的左侧壁到碰撞右侧壁所经过的时间
t=

gd

2g

+

l

gd

，相应的条件是 l≥

d

2

．