Question

1．如图所示，一足够长细绳跨过装在天花板上的滑轮，细绳的一端悬挂一质量为M=55Kg的物体，距离地面L=6m，另一端悬挂一载人的梯子，人的质量为m=50Kg，系统处于平衡状态，不计摩擦及滑轮与细绳的质量，g=10m/s²．求：
（1）若人与梯子分离，不计分离时人对梯子的扰动，则分离后物体到达地面的时间为多少？
（2）要使天花板受力为零，人在梯子上应如何运动？

Answer 1

分析 （1）对系统研究，根据牛顿第二定律求出系统的加速度，结合位移时间公式求出分离后物体到达地面的时间．
（2）要使天花板受力为零，须使细绳中的拉力为零，物体M应做自由落体运动，故梯子应以加速度g向上匀加速运动．人对梯子的作用力向上，人应向下加速运动．

解答 解：（1）开始处于平衡，有：Mg=mg+m_梯g，
解得m_梯=5kg．
人与梯分离后，对系统研究，加速度a=$\frac{mg}{M+{m}_{梯}}=\frac{500}{55+5}=\frac{25}{3}m/{s}^{2}$，
根据L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2×6}{\frac{25}{3}}}s=1.2s$．
（2）设人与梯子之间的相互作用力为F，人向上的加速度为a．若使天花板受力为零，重物应处于完全失重，即下落加速度为g，对梯子运用牛顿第二定律：
F-m_梯g=m_梯g
对人运用牛顿第二定律：
F+mg=ma
又Mg=mg+m_梯g，
解得a=$\frac{2M-m}{m}g=\frac{110-50}{50}×10=12m/{s}^{2}$，
故人以12m/s²的加速度向下加速运动，才能使天花板受力为零．
答：（1）分离后物体到达地面的时间为1.2s．
（2）要使天花板受力为零，人在梯子上以12m/s²的加速度向下加速运动．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，难度中等．