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    2．如图所示，电阻不计的光滑金属导轨ABC、DEF平行放置，间距为L，BC、EF水平，AB、DE与水平面成θ角．PQ、P′Q′是质量均为m、电阻均为R的金属杆，它们与导轨垂直．平行板电容器的两极板（相距为d）M、N水平放置，并通过导线与导轨连接．FC的左侧整个区域处于磁感应强度大小为B1、方向竖直向下的匀强磁场中．电容器两极板间圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2，圆形磁场区域半径r1=0.5d，与电容器两板及左侧边缘线相切．让杆PQ沿水平导轨运动，使杆P′Q′静止不动，试求：

    （1）PQ运动速度的大小和方向．
    （2）若一个不计重力的带正电粒子沿两板间中心线O1O2从左侧边缘．O1点以速度v0射入，恰沿直线通过圆形磁场区域，经过时间t0从极板边缘飞出；撤去磁场，让该粒子仍从O1点以相同速度射入，则经t0/2时间打到极板上，求v0的大小为多少？
    （3 ）若两极板不带电，保持圆形区域磁场不变，满足（2）问比荷的该粒子仍沿中心线O1O2从O1点射入，欲使粒子从两板间飞出，求射入的速度大小应满足的条件[已知tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$]．

    分析 （1）应用E=BLv求出感应电动势，应用欧姆定律求出电流，应用安培力公式求出杆受到的安培力，然后应用平衡条件求出杆的速度大小，应用左手定则与右手定则判断杆的运动方向．
    （2）撤去磁场时粒子做类平抛运动，有磁场时粒子做匀速直线运动，应用类平抛运动规律与平衡条件可以求出粒子的速度．
    （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出粒子的临界速度，然后确定其速度范围．

    解答 解：（1）PQ切割磁感线产生的感应电动势：E=B1Lv，
    电路电流：I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{{B}_{1}Lv}{2R}$，
    P′Q′杆受到的安培力：F=B1IL=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，
    P′Q′杆静止处于平衡状态，由平衡条件得：mgtanθ=F，
    解得：v=$\frac{2mgRtanθ}{{B}_{1}^{2}{L}^{2}}$，
    由右手定则与左手定则可知，PQ应向右运动．
    （2）设极板长为x，撤去磁场后粒子做类平抛运动，水平方向位移：x-2r1=x-d，
    有磁场时：x=v0t0，无磁场时：x-d=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2}$，
    解得：x=2d，v0=$\frac{2d}{{t}_{0}}$；
    （3）撤去磁场时粒子做类平抛运动，粒子的偏移量：0.5d=$\frac{1}{2}$$\frac{qU}{md}$$（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$，
    粒子在磁场中做匀速直线运动，由平衡条件得：qv0B2=q$\frac{U}{d}$，
    解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{2}{{B}_{2}{t}_{0}}$，
    无电场时粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子恰好从上极板左边缘时的轨道半径为r，圆心角为α，
    由几何知识得：tanα=$\frac{0.5d}{r}$，α=45°，r+$\sqrt{2}$r=0.5d，
    洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB2=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
    解得：v=$\frac{（\sqrt{2}-1）d}{{t}_{0}}$；
    粒子恰好从上极板右边缘飞出时，由几何知识得：
    tan2θ=$\frac{1}{3}$，tanθ=$\frac{0.5d}{r}$，已知：tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$，
    解得：v=$\frac{（\sqrt{10}+3）d}{{t}_{0}}$，
    粒子的速度需要满足的条件是：0＜v＜$\frac{（\sqrt{2}-1）d}{{t}_{0}}$，v＞$\frac{（\sqrt{10}+3）d}{{t}_{0}}$；
    答：（1）PQ运动速度的大小为：$\frac{2mgRtanθ}{{B}_{1}^{2}{L}^{2}}$，方向：向右．
    （2）v0的大小为$\frac{2d}{{t}_{0}}$；
    （3 ）欲使粒子从两板间飞出，求射入的速度大小应满足的条件是：0＜v＜$\frac{（\sqrt{2}-1）d}{{t}_{0}}$，v＞$\frac{（\sqrt{10}+3）d}{{t}_{0}}$．

    点评 本题是一道综合题，分析清楚物体的运动过程是解题的前提与关键，分析清楚粒子运动过程作出粒子运动轨迹、应用平衡条件、牛顿第二定律即可解题．

    练习册系列答案
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    B．在近圆形轨道上运行时天宫一号的加速度比天宫二号的小
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