Question

19．如图所示，等腰三角形OPQ区域内存在场强方向沿PQ方向、大小为E的匀强电场，A为PQ的中点，D为OQ的中点，PQ=2L，θ=30°．一质量为m、电量为 q的带正电粒子（重力不计、初速度视为零），从无限靠近M板O′处由静止释放，经两平行金属板M、N间的电场加速后，通过N板上的小孔沿AO方向从A点射入三角形OPQ区域，粒子恰好从D点射出电场．
（1）求M、N两板间的电压U及粒子过A点时的速率υ；
（2）若将三角形OPQ区域内的电场撤去，在此区域内及其边界上充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，该粒子仍从O′处由静止释放，要使该粒子在三角形OPQ区域中运动的时间最长，磁场的磁感应强度B应为多大？并求在磁场中运动的最长时间t_m．

Answer 1

分析 （1）因做类平抛运动，则由两个方向上分别列位移方程求解．
（2）由运动轨迹确定运动圆的半径，再由洛伦兹力提供向心力确定B，由周期公式得时间．

解答 解：（1）粒子在两板间电场加速，根据动能定理有：
qU=$\frac{1}{2}$mυ²
粒子在三角形OPQ区域中做类平抛运动，有：
$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$at²
$\frac{1}{2}$Ltanθ=υt
根据牛顿第二定律有：qE=ma
解得：U=$\frac{1}{24}$EL，
υ=$\sqrt{\frac{qEL}{12m}}$．
（2）由t=$\frac{s}{υ}$知，当υ一定时，弧长s最大即轨迹圆弧恰好与OP边相切（如图所示）时t最大．设轨迹圆弧与OP边相切时圆弧的半径为R，有：
R+$\frac{R}{sinθ}$=L
qυB=m$\frac{υ2}{R}$
t_m=$\frac{πR}{υ}$
解得：B=$\sqrt{\frac{3mE}{4qL}}$
t_m=$2π\sqrt{\frac{mL}{3qE}}$
答：（1）M、N两板间的电压U为$\frac{1}{24}$EL，及粒子过A点时的速率为$\sqrt{\frac{qEL}{12m}}$．
（2）磁场的磁感应强度B为$\sqrt{\frac{3mE}{4qL}}$ 磁场中运动的最长时间为$2π\sqrt{\frac{mL}{3qE}}$．

点评 处理带电粒子在磁场中运动问题，关键作出粒子的运动轨迹，会确定圆周运动的圆心、半径、圆心角，结合半径公式、周期公式进行求解．