Question

9．如图所示，一个内壁光滑顶角θ=90°的圆锥形筒的轴线竖直，圆锥形筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，小球A的轨道半径是B的2倍，选取圆锥形筒的顶点O所在的水平面为重力势能的参考平面．则以下说法中正确的是（　　）

• A． A、B两球所受支持力的大小之比为1：1
• B． A、B两球运动的周期之比为1：$\sqrt{2}$
• C． A、B两球的动能之比为2：1
• D． A、B两球的机械能之比为2：1

Answer 1

分析 根据平行四边形定则得出小球支持力的表达式，从而得出支持力之比．根据牛顿第二定律得出周期和线速度的表达式，从而得出周期和线速度之比，从而得出动能之比．根据动能之比和重力势能之比求出两球的机械能之比．

解答 解：A、根据平行四边形定则知，小球所受的支持力N=$\frac{mg}{sinθ}$，由于两球的质量相等，则A、B两球所受支持力的大小之比为1：1，故A正确．
B、根据$\frac{mg}{tanθ}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，小球运动的周期T=$2π\sqrt{\frac{rtanθ}{g}}$，因为A、B的半径之比为2：1，则周期之比为$\sqrt{2}：1$，故B错误．
C、根据$\frac{mg}{tanθ}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，小球的线速度v=$\sqrt{\frac{gr}{tanθ}}$，因为A、B的半径之比为2：1，则线速度之比为$\sqrt{2}：1$，A、B两球的动能之比为2：1，故C正确．
D、小球A、B的轨道半径之比2：1，则高度之比为2：1，所以两球的重力势能之比为2：1，动能之比为2：1，则两球的机械能之比为2：1，故D正确．
故选：ACD．

点评 解决本题的关键知道小球向心力的来源，关键得出线速度、周期、支持力的表达式，从而分析判断．