Question

在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示．小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点．小球抛出时的动能为8.0J，在M点的动能为6.0J，不计空气的阻力．求：
（1）小球水平位移x₁与x₂的比值；
（2）小球落到B点时的动能E_kB．
（3）小球从A点运动到B点的过程中最小动能E_kmin？

Answer 1

分析：（1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性可知从A点至M点和从M点至B点的时间t相等．小球在水平方向上做初速为零的匀加速运动，由运动学公式位移公式，运用比例法求出x₁与x₂之比；
（2）分别研究A到M和A到B水平方向的分运动，由运动学公式速度位移关系式求出小球到达B点的速度，即可得到动能E_KB；
（3）根据速度的合成得到动能与时间的关系式，运用数学知识求极值，得到小球动能的最小值．

解答：解：（1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性得知，从A点至M点和从M点至B点的时间t相等．
小球在水平方向上做初速为零的匀加速直线运动，设加速度为a，则
   x1=

1

2

at2
  x2=

1

2

a(2t)2-

1

2

at2=

3

2

at2
 所以

x1

x2

=

1

3

（2）小球从A到M，水平方向上电场力做功W_电=Eqx₁=6J，
则从A到B水平方向上电场力做功W_电′=Eq（x₁+x₂）=4W_电=24J
则由能量守恒可知，小球运动到B点时的动能为E_kB=E_k0+4W_电=8+24J=32J  
（3）由题，

1

2

mvA2=8J，
得v_A=

4

m

又竖直方向上，有v_A=gt=

G

m

t，
所以

4

m

=

G

m

t，①

1

2

mvM2=6J，
得v_M=

12

m

在水平方向上，有 v_M=at=

F

m

t，
则得

12

m

=

F

m

t，②
所以②：①得  

F

G

=

3

2

                
设小球运动时间为t时动能为E_k，则
Ek=

1

2

m(v0-gt)2+

1

2

m(at)2
化简为 （g²+a²）t²-2v₀gt+v02-

2Ek

m

=0
 当△=0时有极值，
则4v02g²-4（g²+a²）（v02-

2Ek

m

）=0
得E_k=

a2

g2+a2

E_k0
由

F

G

=

3

2

得a=

3

2

g
即E_kmin=

3

7

E_k0=

3

7

×8J=

24

7

J．
答：（1）小球水平位移x₁与x₂的比值为1：3．
（2）小球落到B点时的动能E_kB=32J．
（3）小球从A点运动到B点的过程中最小动能E_kmin为

24

7

J．

点评：本题运用运动的合成和分解法处理，抓住竖直方向上运动的对称性得到时间关系是关键．对于第3题，也可以求出重力加速度与电场力加速度形成合加速度，当速度方向与合加速度方向垂直时速度最小，动能最小，再由运动学公式和牛顿第二定律结合求解．