Question

17．如图所示，一颗质量分布均匀的星球，绕其中心轴AB自转，O为星球的中心，AB与OP互相垂直，星球在P点的重力加速度是B点的90%，星球自转的周期为T，万有引力常量为G．
（1）求该星球的密度；
（2）若该星球的半径为R，试求该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）两极处的万有引力等于物体的重力，赤道处的重力等于万有引力与物体绕地球自转所需的向心力之差，应用万有引力公式、牛顿第二定律与密度公式可以求出密度．
（2）万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出第一宇宙速度．

解答 解：（1）B位移极点上，物体在B处受到的万有引力等于物体的重力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
位于赤道上的物体所受万有引力等于重力与向心力之和，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m×0.9g=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得：M=$\frac{40{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，
星球的密度：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$；
（2）卫星绕星球做圆周运动万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度：v=$\frac{2\sqrt{10}πR}{T}$；
答：（1）该星球的密度为：$\frac{30π}{G{T}^{2}}$；
（2）若该星球的半径为R，该星球的第一宇宙速度为：$\frac{2\sqrt{10}πR}{T}$．

点评 本题考查了求密度、求第一宇宙速度，考查了万有引力定律的应用，本题关键是明确：赤道位置万有引力等于重力和向心力之和，然后结合万有引力定律公式列式求解．