Question

4．如图所示，ABCD为竖立放在场强为E=10⁴V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切，A为水平轨道上的一点，而且AB=R=0.2m．把一质量m=0.1kg、带电量q=10^-4C的小球，放在水平轨道的A点由静止开始释放后，在轨道的内侧运动．（g取10m/s²）求：
（1）它到达C点时的速度是多大？
（2）若让小球安全通过D点，开始释放点离B点至少多远？
（3）若能通过最高点，从A运动到D的过程中，在何处有最大动能？最大动能为多少？

Answer 1

分析 （1）对AC过程由动能定理可求得C点的速度大小；
（2）根据临界条件可求得最高点的速度，再对全过程分析根据动能定理可求得AB间的距离；
（3）分析运动过程，根据合力的方向即可明确电场力和重力做功情况，知道当到达等效重力场的最低点时动能最大，则根据动能定理即可明确最大动能．

解答 解：（1）由A点到C点应用动能定理
有Eq（AB+R）-mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得v_C=2  m/s．
（2）在D点，小球要安全通过必有mg≤m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
设释放点距B点的距离为x，由动能定理得：
Eqx-mg2R=$\frac{1}{2}$mv_D²
以上两式联立可得x≥0.5 m．
（3）AB过程电场力一直做正功，故动能增大；进入圆轨迹时，重力和电场力的合力做功；合力方向如图所示，合力方向与水平方向夹角tanθ=$\frac{mg}{Eq}$=$\frac{0.1×10}{1{0}^{4}×1{0}^{-4}}$=1，故夹角为45°；故到达BC弧中点时动能最大；
因此当粒子运动到与O连线夹角为45°时，动能最大，则由动能定理可知：
Eq（AB+Rcos45°）-mg（R-Rsin45°）=E_km
解得：E_km=0.2$\sqrt{2}$J；
答：（1）它到达C点时的速度是2m/s
（2）若让小球安全通过D点，开始释放点离B点至少为0.2m；
（3）若能通过最高点，从A运动到D的过程中，小球经过BC弧中点位置时的速度最大，最大动能为0.2$\sqrt{2}$J．

点评 对与圆周运动结合的题目，一般要用到动能定理、牛顿第二定律以及速度最大或最小的临界条件，应记住在复合场中速度最大即等效“最低点”是物体能够平衡的位置，速度最小（等效最高点）位置则是最低点关于圆心的对称点．