Question

4．一宇航员在某星球表面以初速度为v₀，竖直向上抛出一个小球，他测得小球从抛出到落回星球表面所用时间为t，已知该星球半径为R，星球可视为质量分布均匀的球体，该星球的自转周期为T，已知万有引力恒量为G，忽略空气阻力，求：
（1）该星球的密度为多少？该星球的第一宇宙速度为多少？
（2）若发射一颗该星球的同步卫星，同步卫星离该星球表面的高度为多少？

Answer 1

分析 （1）根据速度时间公式，结合竖直上抛的对称性求出星球表面的重力，根据万有引力等于重力求出星球的质量，从而求出星球的密度．根据重力提供向心力求出星球的第一宇宙速度．
（2）抓住同步卫星的周期与星球的自转周期相等，根据万有引力提供向心力求出同步卫星离星球表面的高度．

解答 解：（1）星球表面的重力加速度g=$\frac{{v}_{0}}{\frac{t}{2}}=\frac{2{v}_{0}}{t}$，
根据GM=gR²得，星球的质量M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$，
则星球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$．
根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，行星的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．
（2）根据$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，
同步卫星离星球表面的高度h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R，
又GM=$g{R}^{2}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{t}$，
则h=$\root{3}{\frac{{v}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}}$-R．
答：（1）星球的密度为$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$，星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$；
（2）同步卫星离该星球表面的高度为$\root{3}{\frac{{v}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}}$-R．

点评 本题考查了万有引力定律和运动学公式的综合运用，通过运动学公式求出星球表面的重力加速度是解决本题的关键，掌握万有引力定律的两个重要理论，并能灵活运用．