Question

9．如图1所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电阻为r、长度也刚好为L的导体棒ab垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d₀．现用一个水平向右的力F拉棒，使它由静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，棒与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，F随导体棒与初始位置的距离x变化的情况如图2，F₀已知．求：
（1）导体棒离开磁场右边界时的速度．
（2）导体棒通过磁场区域的过程中，通过电阻R的电量．
（3）导体棒通过磁场区域的过程中整个回路产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）由题，棒ab离开磁场右边界前已经做匀速运动，外力与安培力达到平衡．由法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系式，由图读出外力的大小，即可由平衡条件列式求出速度．
（2）应用法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，然后由电流的定义式求出电荷量．
（3）在ab棒运动的整个过程中，外力与安培力做功引起动能变化，分析动能定理列式求出棒克服安培力做功，即等于整个回路产生的焦耳热．

解答 解：（1）设离开右边界时棒ab速度为v，感应电动势为：E=BLv，
电流为：I=$\frac{E}{R+r}$，
棒受到的安培力：BIL，
棒匀速运动，对棒，由平衡条件得：2F₀-BIL=0，
解得：v=$\frac{2{F}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLd}{△t}$，
电流：I=$\frac{E}{R+r}$，
通过R的电荷量：q=I△t，
解得：q=$\frac{BLd}{R+r}$；
（3）在ab棒运动的整个过程中，根据动能定理：
$\frac{{F}_{0}+2{F}_{0}}{2}$d₀+2F₀d+W_安培=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由功能关系可知：Q=-W_安培
解得：Q=F₀（$\frac{3}{2}$d₀+2d）-$\frac{2m{F}_{0}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）导体棒离开磁场右边界时的速度为$\frac{2{F}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）导体棒通过磁场区域的过程中，通过电阻R的电量为$\frac{BLd}{R+r}$．
（3）导体棒通过磁场区域的过程中整个回路产生的焦耳热为F₀（$\frac{3}{2}$d₀+2d）-$\frac{2m{F}_{0}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题关键要结合棒的运动状态，根据平衡条件和动能定理分析处理，关键要会推导安培力与速度的关系，知道克服安培力做功等于焦耳热．