Question

6．已知月球半径为R，飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，周期为T．万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 月球第一宇宙速度为$\frac{4πR}{T}$
• B． 月球表面重力加速度为$\frac{8{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
• C． 月球密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 月球质量为$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；在月球表面，重力等于万有引力，根据万有引力定律列式；月球的第一宇宙速度等于月球表面的瞬时速度．

解答 解：B、D、飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上做匀速圆周运动，故：
G$\frac{Mm}{（R+R）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+R）$
在月球表面，重力等于万有引力，故：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$ 
联立解得：
g=$\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
M=$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
故B错误，D正确；
A、月球第一宇宙速度为：
${v}_{1}=\sqrt{gR}$=$\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$，故A错误；
C、月球的密度：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{24π}{G{T}^{2}}$；故C错误；
故选：D

点评 本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．重力加速度g是联系星球表面宏观物体运动和天体运动的桥梁．