Question

13．如图所示，将半径为R的透明半球体放在水平桌面上方，O为球心，直径恰好水平，轴线OO′垂直于水平桌面．位于O点正上方某一高度处的点光源S发出一束与OO′，夹角θ=60°的单色光射向半球体上的A点，已知透明半球体对该单色光的折射率为$\sqrt{3}$，光在真空中传播速度为c，不考虑半球体内光的反射，求：
（1）光线通过半球体后射到桌面上的位置B（图中未画出）到O′的位置；
（2）该光在半球体内传播的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据光从光疏介质射入光密介质，入射角大于折射角，从光密介质射入光疏介质，入射角小于折射角，作出光路图．根据折射定律和几何关系，求出两次折射的折射角，并由几何知识求B到O′的距离．
（2）由v=$\frac{c}{n}$求出光在半球体中传播的速度，由数学知识求出光在半球体中传播的距离，即可求得传播时间t．

解答 解：（1）光从光源S射出经半球体到达水平桌面的光路如图．

光由空气射向半球体，入射角 θ=60°
半球体的折射率：n=$\sqrt{3}$                    
由折射定律，有 n=$\frac{sinθ}{sinα}$                     
代入数据解得：α=30°
光由半球射入空气，由几何关系可知α+β=60°，故有：α=β=30°           
又由折射定律，有 n=sin$\frac{sinγ}{sinβ}$      
 解得折射角为：γ=60°                
由几何关系可知，出射光线平行于轴线OO′，垂直射到水平桌面上的B点，则
    O′B=Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R                  
（2）光在半球体中传播的速度为：v=$\frac{c}{n}$                      
由几何知识得 2ACcos30°=R                
得：AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R                  
所以光在半球体中传播的时间为：t=$\frac{AC}{v}$=$\frac{R}{c}$
答：（1）光线通过半球体后射到桌面上的位置B（图中未画出）到O′的位置与B相距$\frac{\sqrt{3}}{2}$R；
（2）该光在半球体内传播的时间t是$\frac{R}{c}$．

点评 处理几何光学相关的问题，关键是作出光路图，一定要用直尺准确作图，然后根据几何图形的特点求角或者线段的长度．