Question

16．半径为R的光滑半圆环形轨道固定在竖直平面内，环形轨道的最高点记为A，最低点记为B．从与半圆环相吻合的光滑斜轨上高h=3R处，释放一小球，小球的质量为m，如图所示．求：
（1）小球经过A点时的速度大小v_A．
（2）小球经过B点时，球对圆环作用力的大小．

Answer 1

分析 （1）小球下滑的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求出A点的速度大小v_A；
（2）先由机械能守恒定律求出小球到达B点的速度大小v_B；在B点，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律求出圆环对球的支持力，再根据牛顿第三定律求解球对圆环的压力．

解答 解：（1）A球从斜轨最高点到半圆环形轨道最高点的过程，由机械能守恒定律得：
    mg（3R-2R）=$\frac{1}{2}$×mv_A²，解得  v_A=$\sqrt{2gR}$
（2）B球从斜轨最高点到半圆环形轨道最低点的过程，由机械能守恒定律，有：
   3mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²，解得  v_B=$\sqrt{6gR}$．
设半圆环形轨道对小球在B的作用力F_NB，F_NB方向竖直向上．
根据牛顿第二定律得  F_NB-mg=$\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，解得 F_NB=7mg
根据牛顿第三定律得，小球对圆环在B的作用力分别为  F′_NB=7mg，
答：
（1）小球经过A点时的速度大小v_A是$\sqrt{2gR}$．
（2）小球经过B点时，球对圆环作用力的大小是7mg．

点评 本题是向心力和机械能守恒定律的综合应用，要知道速度是它们之间联系的纽带，要明确在B点，由合力提供小球所需要的向心力．