Question

14．一列火车总质量m=5×10⁵kg，机车发动机的额定功率P=3×10⁶ W，水平轨道对列车的阻力f是车重的0.02倍，火车在轨道上从静止开始行驶时，发动机功率不超过额定功率P，取g=10m/s²，求：
（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度v_m；
（2）当行驶速度为v=20m/s时，机车发动机的功率为额定功率，此时加速度a是多大；
（3）若火车从静止开始保持以0.2m/s²的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间t为多少．

Answer 1

分析 （1）当牵引力等于阻力时，速度最大，根据P=fv_m求出火车的最大速度；
（2）根据P=Fv求出火车的牵引力，结合牛顿第二定律求出加速度；
（3）根据牛顿第二定律求出牵引力，结合P=Fv求出匀加速直线运动的末速度，根据速度时间公式求出匀加速运动的时间．

解答 解：（1）列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，列车的加速度为零，速度达最大值v_m
F=f=kmg                          
v_m=$\frac{P}{F}=\frac{P}{kmg}=\frac{3×1{0}^{6}}{0.02×5×1{0}^{6}}m/s=30m/s$．
（2）当v＜v_m时，列车加速运动，根据牛顿第二定律可得：
当v=20m/s时，F₁=$\frac{P}{v}$=$\frac{3×1{0}^{6}}{20}N$=1.5×10⁵ N            
a=$\frac{{F}_{1}-f}{m}=\frac{1.5×1{0}^{5}-0.02×5×1{0}^{6}}{5×1{0}^{5}}m/{s}^{2}$=0.1 m/s²                        
（3）据牛顿第二定律可得牵引力为：
F′=f+ma′=0.02×5×10⁶+5×10⁵×0.2N=2×10⁵ N                 
在此过程中，速度增大，发动机功率增大，当功率为额定功率时速度大小为v_m′，即：
v_m′=$\frac{P}{F′}$=$\frac{3×1{0}^{6}}{2×1{0}^{5}}$m/s=15m/s                      
t=$\frac{vm′}{a}$=$\frac{15}{0.2}s$=75s                             
答：（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度为30m/s；
（2）此时加速度a是0.1m/s²；
（3）这一过程维持的最长时间t为75s．

点评 本题考查了机车的启动问题，关键理清火车在整个过程中的运动规律，结合功率公式、牛顿第二定律和运动学公式综合求解．