Question

6． 一个质量m=0.20kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上的B点，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径R=0.50m，弹簧的原长l₀=0.50m，劲度系数为4.8N/m，如图所示．若小球从图中所示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能E_P=0.6J．取g=l0m/s²，求：
（1）小球到C点时的速度v_c的大小．
（2）小球在C点时环对它的作用力大小和方向．
（3）若把该装置放在光滑水平面上，其他条件不边，v_C的大小也不变，需对小球做多少功？

Answer 1

分析 （1）小球在下降中小球的重力势能转化为动能和弹簧的弹性势能，由小球与弹簧机械能守恒可求得小球到C点时的速度大小；
（2）小球在最低点C时，由合力充当向心力，由牛顿第二定律和第三定律结合可得出小球在C点对环的作用力．
（3）根据功能关系求外力对小球做的功．

解答 解：（1）在B点时，弹簧处于原长，弹性势能为0．小球由B点滑到C点的过程，由机械能守恒定律得：
mg（R+Rcos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+E_P
代入数据解得：v_C=3m/s
（2）在C点：弹簧的弹力大小为 F_弹=（2R-l₀）k=2.4N，方向竖直向上
设环对小球作用力为N，方向指向圆心，由牛顿第二定律得：
F+N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=3.2N，方向竖直向上
由牛顿第三定律知，小球对环作用力大小为：N′=N=3.2N，方向竖直向下．
（3）根据功能原理可得：W=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+E_P．
由第1 题可得：W=mg（R+Rcos60°）=0.2×10×0.5（1+0.5）J=1.5J
答：
（1）小球到C点时的速度v_c的大小3m/s；
（2）小球在C点对环的作用力3.2N，方向竖直向下．
（3）需对小球做1.5J的功．

点评 解第1题时，要注意我们研究的系统是小球与弹簧而不是小球，小球与弹簧组成的系统是机械能守恒，而只对小球来说，机械能是不定恒的．