Question

2．如图所示，质量为m的小球（视为质点），用轻软绳系在固定的边长为a的正方形截面木柱的顶角A处（木柱水平，图中斜线部分为其竖直横截面），软绳长为4a，软绳所能承受的最大拉力T=9mg，软绳开始时拉直并处于水平状态，问此时应以多大的初速度竖直下抛小球，才能使绳绕在木柱上且个小段均做圆周运动最后击中A点？

Answer 1

分析 小球的运动过程中满足机械能守恒，掌握小球在竖直面内圆周运动能通过最高点的临界条件v$≥\sqrt{gR}$进行求解．

解答 解：在最低点，对小球应用牛顿第二定律得：
$T-mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$      
由上式可知，小球圆周运动半径越小，绳子越容易断，故小球在最低点时，应取以B为圆心即R₁=3a，并保障绳子不被拉断有：
9mg-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{3a}$
解得小球在最低点的最大速度为：${v}_{1}=\sqrt{24ga}$
设开始下抛的初速度为v₀，从开始至最低点应用动能定理得：
$mg×4a=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入${v}_{1}=\sqrt{24ga}$
可解得：${v}_{0}=4\sqrt{ga}$
若小球恰好能通过最高点，则在最高点处有：mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
由该式可见R₂最大时，通过最高点所需v₂越大，故应取C点为圆心，即R₂=2a才能完成圆周运动．
mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2ga}$
从开始至最高点时应用动能定理有：
$-mga=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入${v}_{2}=\sqrt{2ga}$可解得：${v}_{0}=3\sqrt{ga}$
综上可知，使绳绕在木柱上且个小段均做圆周运动最后击中A点小球竖直下抛的速度满足：$3\sqrt{ga}≤{v}_{0}≤4\sqrt{ga}$
答：此时应以$3\sqrt{ga}≤{v}_{0}≤4\sqrt{ga}$的初速度竖直下抛小球，才能使绳绕在木柱上且个小段均做圆周运动最后击中A点．

点评 解决本题的关键是抓住小球在竖直面内圆周运动的通过最高点的临界条件和向心力大小的判定，抓住条件展开讨论是解决问题的关键．