Question

14．将一个物体以初速度v₀从地面竖直向上抛出，设物体在运动过程中所受空气阻力大小恒为f，求物体
（1）上升时的加速度大小
（2）下降时的加速度大小
（3）回到抛出点的时间
（4）作出全过程的速度-时间图象．

Answer 1

分析 （1）（2）根据物体受重力和阻力作用，由牛顿第二定律求出上升过程中和下降过程中的加速度大小；
（3）由速度时间公式求出上升过程时间，根据速度位移公式求出上升的最大高度，根据速度位移公式求出落回地面的速度，由速度时间公式求出时间，回到抛出点的时间即为两者之和；
（4）根据速度位移公式求出落回地面的速度，在最高点速度为0，选点作图即可．

解答 解：设物体的质量为m，上升和下降的加速度分别为：a₁、a₂，上升的最大高度为h，落回地面的速度为v
（1）上升过程中，物体受重力，方向竖直向下；受阻力，方向竖直向下，由牛顿第二定律得：
mg+f=ma₁
解得：a₁=$g+\frac{f}{m}$
（2）下降过程中，物体受阻力，竖直向上，由牛顿第二定律得：mg-f=ma₂
解得：a₂=g-$\frac{f}{m}$
（3）上升过程中时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-0}{{a}_{1}}$=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{m{v}_{0}}{mg+f}$，
上升最大高度：h=$\frac{{{0-v}_{0}}^{2}}{-{2a}_{1}}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{m{v}_{{0}^{2}}}{2（mg+f）}$
落回地面的速度满足：v²=2a₂h
解得：v=${v}_{0}\sqrt{\frac{mg-f}{mg+f}}$
则下落时间为：${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{{v}_{0}\sqrt{\frac{mg-f}{mg+f}}}{g-\frac{f}{m}}=\frac{m{v}_{0}}{\sqrt{（mg+f）（mg-f）}}$
则总时间：t=t₁+t₂=$\frac{m{v}_{0}}{mg+f}+\frac{m{v}_{0}}{\sqrt{（mg+f）（mg-f）}}$
（4）全过程的速度-时间图象为：

答：（1）上升时的加速度大小为$g+\frac{f}{m}$；
（2）下降时的加速度大小为g-$\frac{f}{m}$；
（3）回到抛出点的时间为$\frac{m{v}_{0}}{mg+f}+\frac{m{v}_{0}}{\sqrt{（mg+f）（mg-f）}}$；
（4）全过程的速度-时间图象如图所示．

点评 本题考查有阻力的上抛运动，需要考虑阻力在上升和下降过程中的方向．