Question

4．如图所示，水平虚线L₁、L₂之间是匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场高度为h，竖直平面内有一等腰梯形线框，底边水平，其上下边长之比为5：1，高为2h，现使线框AB边在磁场边界L₁的上方h高处由静止自由下落，当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0，在AB边刚出磁场前的一段时间内，线框做匀速运动．求：DC边刚进入磁场时，线框的加速度的大小．

Answer 1

分析 由机械能守恒求出AB刚进入磁场时的速度．根据AB刚进入磁场时加速度恰好为0，由平衡条件列出重力与安培力的关系方程．在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动，此时线框有效切割长度为2l，由平衡条件得到重力与安培力的关系式，将两个重力与安培力的关系式进行对比，求出DC边刚进入磁场前线框匀速运动时的速度．DC边刚进入磁场瞬间，线框有效切割的长度为3l，推导出安培力表达式，由牛顿第二定律求出加速度．

解答 解：设AB刚进入磁场时速度为v₀，线框质量为m、电阻为R，AB=l，CD=5l．
根据机械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$
当AB边刚进入磁场时加速度恰好为0，则有：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$=mg
设DC边刚进入磁场前线框匀速运动时速度为v₁，
E_感=B（2l）v₁
线框匀速运动时有：$\frac{{B}^{2}（2l）^{2}{v}_{1}}{R}=mg$
得出：${v}_{1}=\frac{1}{4}{v}_{0}$
DC边刚进入磁场瞬间有：E′=B（3l）v₁
F₁=$\frac{{B}^{2}（3l）^{2}{v}_{1}}{R}$=$\frac{{B}^{2}（3l）^{2}{v}_{0}}{4R}$=$\frac{9}{4}mg$
根据牛顿第二定律得：F₁-mg=ma
解得：a=$\frac{5}{4}$g．
答：线框的加速度的大小为$\frac{5}{4}$g．

点评 本题要研究物体多个状态，再找它们的关系，关键要写出线框有效的切割长度，即与速度方向垂直的导体等效长度．