Question

15．一个半径为R=0.5m的水平转盘可以绕竖直轴O′O″转动，水平转盘中心O′处有一个光滑小孔，用一根长L=1m细线穿过小孔将质量分别为m_A=0.2kg、m_B=0.5kg的小球A和小物块B连接，小物块B 放在水平转盘的边缘且与转盘保持相对静止，如图所示．现让小球A在水平面做角速度ω_A=5rad/s的匀速圆周运动，小物块B与水平转盘间的动摩擦因素μ=0.3 （取g=10m/s²），求：
（1）细线与竖直方向的夹角θ；
（2）小球A运动不变，现使水平转盘转动起来，要使小物块B与水平转盘间保持相对静止，求水平转盘角速度ω_B的取值范围；（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（3）在水平转盘角速度ω_B为（2）问中的最大值的情况下，当小球A和小物块B转动至两者速度方向相反时，由于某种原因细线突然断裂，经过多长时间小球A和小物块B的速度相互垂直．（可能使用到的sin30°=$\frac{1}{2}$，cos30°=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 （1）A做匀速圆周运动，重力和绳子的拉力合力提供向心力，根据向心力公式及几何关系即可求解；
（2）当静摩擦力达到最大，且方向背离圆心时，由绳子的拉力和静摩擦力提供向心力，此时角速度最小，当静摩擦力达到最大，且方向指向圆心时，由绳子的拉力和静摩擦力提供向心力，此时角速度最大，根据向心力公式列式即可求解；
（3）所以绳子断裂后，B球立即离开转盘做平抛运动，同时A球也离开圆轨道做平抛运动，根据v=ωr求出平抛运动的初速度，根据平抛运动基本公式再结合角度关系即可求解．

解答 解：（1）对小球A受力分析如图所示，由F=ma得，
${m}_{A}gtanθ={m}_{A}{r}_{A}{{ω}_{A}}^{2}$，①
由几何关系知：${r}_{A}=\frac{L}{2}sinθ$，②
由①②解得：$cosθ=\frac{4}{5}$，
即θ=37°．③
（2）对物块B受力分析，由F=ma得，
 当物块受到的最大静摩擦力f_max向左时，转盘ω_B最大．
$T+μ{m}_{B}g={m}_{B}{r}_{B}{{ω}_{Bmax}}^{2}$    ④
当物块受到的最大静摩擦力f_max向右时，转盘ω_B最小．
$T-μ{m}_{B}g={m}_{B}{r}_{B}{{ω}_{Bmin}}^{2}$     ⑤
又由（1）对A知，$T=\frac{{m}_{A}g}{cosθ}$    ⑥
联合③④⑤⑥解得ω_Bmin=2rad/s，ω_Bmax=4rad/s．
即ω_B的取值范围为2rad/s＜ω_B＜4rad/s．
（3）绳断后A、B均做平抛运动，设经时间t，A和B速度垂直，由平抛运动规律知此时A、B竖直方向速度均为v_y=gt⑦
水平方向：v_OA=r_Aω_A=1.5m/s，
v_OB=r_Bω_Bmin=2m/s．
作图，由几何关系得，${{v}_{y}}^{2}={v}_{OA}•{v}_{OB}$，
即t=$\sqrt{\frac{{v}_{OA}{v}_{OB}}{{g}^{2}}}$，
代入数据解得t=$\frac{\sqrt{3}}{10}s$．
答：（1）细线与竖直方向的夹角为37°；
（2）水平转盘角速度ω_B的取值范围为2rad/s＜ω_B＜4rad/s．
（3）经过$\frac{\sqrt{3}}{10}s$时间小球A和小物块B的速度相互垂直．

点评 解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，能根据向心力公式、平抛运动基本规律以及数学知识求解，难度较大，属于难题．