Question

8．“嫦娥工程”是我国迈出航天深空探测第一步的重大举措，实验月球探测将是我国航天深空探测零的突破．已知月球半径为R，万有引力常量为G．若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点．根据以上所给出的条件，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度（环绕速度）；
（3）若飞船绕月球的运动近似看做匀速圆周运动，求飞船绕月球运动的最小周期T_min．

Answer 1

分析 （1）先根据竖直上抛运动的知识求出月球表面的重力加速度，再根据月球表面重力等于万有引力列式求解．
（2）第一宇宙速度等于贴近星球表面做匀速圆周运动的线速度，根据万有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度；
（3）飞船的环绕半径等于月球半径时有最小周期，根据万有引力等于向心力列式求解．

解答 解：（1）在月球表面以速度v₀向上抛出小球，月球表面的重力加速度为g
v₀=$\frac{1}{2}$gt ①
由在月球表面物体的重力等于万有引力
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$ ②
由①、②解得：M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$
（2）在月球表面绕月球做匀速圆周运动的卫星所需向心力由月球对它的万有引力来提供．
即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$
（3）飞船的环绕半径等于月球半径时有最小周期，
根据万有引力定律和向心力公式：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{{T}_{min}}$）²R  ③
将M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$代入③式，解得
T_min=π$\sqrt{\frac{2tR}{{v}_{0}}}$
答：（1）月球的质量M为M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）月球的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$；
（3）若飞船绕月球的运动近似看做匀速圆周运动，飞船绕月球运动的最小周期为π$\sqrt{\frac{2tR}{{v}_{0}}}$．

点评 本题关键是要抓住星球表面处物体的重力等于万有引力，求得重力加速度，运用竖直上抛运动的知识求出重力加速度，以及卫星所受的万有引力提供向心力进行列式求解．