Question

5．如图所示的竖直平面内，水平条形区域Ⅰ和Ⅱ内有方向水平向里的匀强磁场，其宽度均为d，Ⅰ和Ⅱ之间有一宽度为h的无磁场区域，h＞d，一质量为m、边长为d的正方形线框由距区域I上边界某一高度处静止释放，结果线圈均能匀速地通过磁场区域，重力加速度为g，空气阻力忽略不计．则下列说法正确的是（　　）

• A． 磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度之比为$\frac{\sqrt{2h-d}}{\sqrt{h}}$
• B． 线圈通过磁场Ⅰ、Ⅱ的速度之比为$\frac{\sqrt{2h-d}}{\sqrt{h}}$
• C． 线圈通过磁场Ⅰ、Ⅱ线圈中产生的热量度之比为1：1
• D． 线圈进入磁场Ⅰ和进入磁场Ⅱ通过线圈截面的电量之比为1：1

Answer 1

分析 由动能定理求得进入两磁场区域的速度，并通过受力平衡得到两磁场磁感应强度；由速度可得到电流，进而得到电量，并通过动能定理得到产热量．

解答 解：B、设线圈在磁场Ⅰ中运动的速度为v₁，在磁场Ⅱ中运动的速度为v₂，则在线圈从静止到刚要进入磁场Ⅰ和线框离开磁场Ⅰ到刚要进入磁场Ⅱ过程中都只有重力做功，对这两个过程分别应用动能定理，则有：$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}，mg（h-d）=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$；
所以，$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{{v}_{2}}^{2}}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}}{\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}}{\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+mg（h-d）}}$=$\sqrt{\frac{mgh}{mgh+mg（h-d）}}$=$\sqrt{\frac{h}{2h-d}}$，故B错误；
A、线圈在磁场中做匀速运动，所以，其所受安培力等于重力，则有：$mg=Bid=\frac{{B}^{2}{d}^{2}v}{R}$；
所以，${{B}_{1}}^{2}{v}_{1}={{B}_{2}}^{2}{v}_{2}$，则$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\sqrt{\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}=\root{4}{\frac{2h-d}{h}}$，故A错误；
D、线圈进入磁场Ⅰ和进入磁场Ⅱ通过线圈截面的电量之比$\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}=\frac{{i}_{1}{t}_{1}}{{i}_{2}{t}_{2}}=\frac{\frac{{B}_{1}d{v}_{1}}{R}•\frac{d}{{v}_{1}}}{\frac{{B}_{2}d{v}_{2}}{R}•\frac{d}{{v}_{2}}}=\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\root{4}{\frac{2h-d}{h}}$，故D错误；
C、线圈在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中都是只受重力和安培力做功，应用动能定理，则可得线圈通过磁场是产生的热量等于重力做的功，故线圈通过磁场Ⅰ、Ⅱ线圈中产生的热量度之比为1：1，故C正确；
故选：C．

点评 在闭合电路切割磁感线的问题中，常应用动能定理来求解安培力做的功即电路产生的热量．