Question

10．如图，绝缘、光滑斜面倾角θ=37°，在区域I内有垂直于斜面向上的匀强磁场，区域II内有垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B=1T，宽度均为d=0.4m，MN为两磁场的分界线．质量为0.06kg的矩形线框abcd，边长分别为L=0.6m和d=0.4m，置于斜面上端某处，ab边与磁场边界、斜面底边平行．由静止释放线框，线框沿斜面下滑，恰好匀速进入区域I．已知线框的总电阻R=0.5Ω．
（1）求ab边在区域I内运动时，线框的速度v₀的大小；
（2）求当ab边刚进入区域Ⅱ时，线框的发热功率P；
（3）将ab边进入区域Ⅱ时记为t=0时刻，为使线框此后能以大小为0.4m/s²、沿斜面向上的加速度做匀变速运动，需在线框上施加一沿斜面方向的外力，求t=0时的外力F．
（4）请定性地描述在题（3）的情景中，t=0之后外力F随时间t变化的情况．

Answer 1

分析 （1）ab边在区域I内匀速运动，根据力的平衡条件结合安培力的计算公式列方程求解；
（2）根据闭合电路的欧姆定律和电功率的计算公式联立求解；
（3）根据安培力计算公式和牛顿第二定律联立求解外力的大小和方向；
（4）分析线框的运动情况和受力情况，确定外力F先沿斜面向下均匀减小；再沿斜面向上均匀增大；再突然减小；再沿斜面向上均匀增大；又突然减小；最后沿斜面向上保持不变．

解答 解：（1）ab边在区域I内匀速运动，根据力的平衡可得：mgsin37°=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$，
解得v₀=0.5m/s；
（2）ab边刚过MN时，根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{2BL{v}_{0}}{R}$=$\frac{2×1×0.6×0.5}{0.5}$A=1.2A
线框的发热功率：P_A═I²R=1.2²×0.5W=0.72W；
（3）t=0时，根据安培力计算公式可得：F_A=2BIL=2BL$•\frac{2BL{v}_{0}}{R}$=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$=4mgsin37°
根据牛顿第二定律可得：ma=F_A-mgsin37°-F 
联立解得：F=F_A-mgsin37°-ma=3mgsin37°-ma=3×0.06×10×0.6N-0.06×0.4N=1.056N，
沿斜面向下；
（4）线框减速到零所需时间：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{0.5}{0.4}$s=1.25s，
下行距离s₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{0．{5}^{2}}{2×0.4}$=0.3125m＜d，所以线框下行未出区域II便开始沿斜面向上运动．
随着时间t的变化：外力F先沿斜面向下均匀减小；再沿斜面向上均匀增大；再突然减小；再沿斜面向上均匀增大；又突然减小；最后沿斜面向上保持不变．
0～2.5s期间ab边在区域II运动，根据牛顿第二定律可得：a=F_A-mgsin37°-F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-at）}{R}$mgsin37°-F
F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-at）}{R}$-mgsin37°-ma
t=0时，F=1.056N，沿斜面向下
t=2.5s时，F=-1.824N，沿斜面向上
突变后F=-0.744N，沿斜面向上
ab出区域II前后：F=-0.924N突变为-0.384N
设t=t₃时刻ab边恰好出区域II，-0.4=0.5t₃-$\frac{1}{2}$×0.4×t₃²
可求出t₃≈3.14s，此刻速度约为0.75m/s
F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{0}-at）}{R}$-mgsin37°-ma，此过程ma=F_A-mgsin37°-F，因为F_A随时间线性变化，所以F也随时间t线性变化，
F=1.056N，沿斜面向下；
0.25sab边再次回到分界线MN，t’=2×$\frac{{v}_{0}}{a}$=2×$\frac{0.5}{0.4}$s=2.5s
此时F_A=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$=4 mgsin37°，沿斜面向下
F=F_A+mgsin37°+ma=5mgsin37°+ma=5×0.06×10×0.6N+0.06×0.4N=1.824N，沿斜面向上．
答：（1）ab边在区域I内运动时，线框的速度v₀的大小为0.5m/s；
（2）当ab边刚进入区域Ⅱ时，线框的发热功率为0.72W；
（3）t=0时的外力的大小为1.056N，沿斜面向下；
（4）F先沿斜面向下均匀减小；再沿斜面向上均匀增大；再突然减小；再沿斜面向上均匀增大；又突然减小；最后沿斜面向上保持不变．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．