Question

4．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，经时间t落地，落地时速度与水平地面间的夹角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度a；
（2）该星球的第一宇宙速度v；
（3）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的速度等式，结合几何关系求出重力加速度．
（2）根据重力等于万有引力列式求解第一宇宙速度．
（3）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出最小周期T．

解答 解：（1）设该星球表现的重力加速度为g，根据平抛运动规律：
水平方向：v_x=v₀
竖直方向：v_y=at
速度偏转角的正切值：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
得：a=$\frac{{v}_{0}tanα}{t}$；
（2）第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：
v₁=$\sqrt{aR}$=$\sqrt{\frac{{v}_{0}R•tanα}{t}}$
（3）近地卫星的周期最小，故：
ma=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解得：
T=2π$\sqrt{\frac{Rt}{{v}_{0}tanα}}$
答：（1）该星球表面的重力加速度a为$\frac{{v}_{0}tanα}{t}$；
（2）该星球的第一宇宙速度v为$\sqrt{\frac{{v}_{0}R•tanα}{t}}$；
（3）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T为2π$\sqrt{\frac{Rt}{{v}_{0}tanα}}$．

点评 处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度a是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．