Question

8．如图所示，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一个质量为m的带电小球，将它置于一个匀强电场中，场强大小为E，水平向右，已知当细线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡状态．
（1）小球带何种电荷？电荷量是多少？
（2）如果使细线的偏角由α增大φ，然后由静止释放，则φ应为多大，才能使细线达到竖直位置时，小球的速度刚好为零？
（3）如果将小球向左方拉成水平，此时线被拉直，那么放手后小球将做怎样的运动？小球开始运动后经多次时间又被拉直？

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，根据共点力平衡得出小球的电性以及小球所带的电荷量．
（2）根据动能定理，结合数学三角函数的关系求出小球速度刚好为零时φ的大小．
（3）果将小球向左方拉成水平，此时线被拉直，放手后，小球将沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出加速度，结合位移时间公式求出运动的时间．

解答 解：（1）分析小球受力如图所示，由力的平衡知小球带正电，且满足：Tsinα=qE，Tcosα=mg，
解得：q=$\frac{mgtanα}{E}$．
（2）小球从细线偏角φ的位置运动到竖直位置时，拉力T不做功，重力做正功，电场力做负功，由动能定理得：
mgL（1-cosφ）-qELsinφ=0
即：$\frac{1-cosφ}{sinφ}=\frac{qE}{mg}=\frac{E•\frac{mgtanα}{E}}{mg}=tanα$，
再由二倍角公式cos2θ=1-2sin²θ代入可得：
$tan\frac{φ}{2}=tanα$，
即：φ=2α．
（3）小球受力分析如图所示．由于小球所受重力、电场力均为恒力且由静止释放，故小球将沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，当线被拉直时，小球运动的位移为：
s=2Lsinθ
小球的加速度为：$a=\frac{{F}_{合}}{m}=\frac{\frac{mg}{cosθ}}{m}=\frac{g}{cosθ}$，
由s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{2×2Lsinθ}{\frac{g}{cosθ}}}=\sqrt{\frac{2Lsin2θ}{g}}$．
答：（1）小球带正电，电荷量为$\frac{mgtanα}{E}$．
（2）φ应为2α，才能使细线达到竖直位置时，小球的速度刚好为零．
（3）小球将沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，小球经过$\sqrt{\frac{2Lsin2θ}{g}}$又被拉直．

点评 本题考查了共点力平衡、牛顿第二定律、动能定理和运动学公式的综合运用，对数学几何关系要求较高，注意第三问不能误认为小球做圆周运动，抓住小球的受力以及初速度分析小球的运动规律．