Question

12．如图所示，木块A的质量为m，木块B的质量为km（k为常数），A，B由轻弹簧拴接，置于光滑水平面上，弹簧处于自然状态，一质量为m的木块C静止在木块A的左侧斜面上，木块C与斜面的动摩擦因数为μ=tanθ，斜面底端与木块A的距离足够长，现给木块C以初速度v₀使之沿斜面向下运动，与A碰撞后，与A一起压缩弹簧，但与A不粘连．已知木块C返回斜面底端时的速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$，最终静止在斜面上某处．设木块C的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计木块经过斜面与平面连接处的能量损失，求：
（1）木块C最终静止时距离斜面底端的距离；
（2）弹簧弹性势能的最大值及木块AC分离时木块B的速度；
（3）如果在木块AC分离以后的过程中，木块B为速度为零的时刻，确定k的值．

Answer 1

分析 （1）木块C返回斜面底端时的速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$，对其上滑过程根据动能定理列式求解即可；
（2）木块C与斜面的动摩擦因数为μ=tanθ，木块C下滑过程中是匀速直线运动；C与A碰撞过程，C与A系统动量守恒，根据动量守恒定律列式求解碰撞后的共同速度；此后弹簧被压缩，B加速，A与C减速，当A、B、C速度相等时，弹簧被压缩到最大，弹性势能最大，根据动量守恒定律列式求解共同速度，根据能量守恒定律求解最大弹性势能；此后AC继续减速，B继续加速，当弹簧恢复原长时，A与C分离，根据能量守恒定律和动量守恒定律列式后联立求解，即可得到块A、C分离时木块B的速度；
（3）在木块A、C分离以后的过程中，A、B系统动量守恒，如果木块B的速度为零，根据动量守恒定律列式求解A的速度，结合能量守恒定律列式求解即可．

解答 解：（1）由于μ=tanθ，故木块C下滑过程中，滑动摩擦力与重力的下滑分力平衡，做匀速直线运动；
故与A碰撞前的速度为v₀，反弹速度大小为$\frac{1}{2}{v}_{0}$，上滑过程，根据动能定理，有：
-（f+mgsinθ）L=0-$\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$
其中：
f=μmgcosθ=mgsinθ
故：L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{16gsinθ}$
（2）C与A碰撞过程，C与A系统动量守恒，C与A碰撞过程时间极短，B的速度为零不变；
故：mv₀=（m+m）v₁
解得：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}$
当AB速度相等时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律，有：
mv₀=（m+m+km）v
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2+k}$；
故最大弹性势能为：
E_pm=$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}（2m+km）{v}^{2}$=$\frac{k}{4（2+k）}m{v}_{0}^{2}$
当弹簧第一次恢复原长时，AC分离，根据动量守恒定律，有：
mv₀=m（-$\frac{{v}_{0}}{2}$）+mv_A+kmv_B ①
根据机械能守恒定律，有：
$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+$$\frac{1}{2}km{v}_{B}^{2}$ ②
联立解得：
${v}_{B}=\frac{3k+\sqrt{2{k}^{2}-7}}{2（{k}^{2}+1）}{v}_{0}$ 
或：${v}_{B}=\frac{3k-\sqrt{2{k}^{2}-7}}{2（{k}^{2}+1）}{v}_{0}$
（3）在木块A、C分离以后的过程中，A、B系统动量守恒，如果B的速度为零，根据动量守恒定律，有：
mv₀=m（-$\frac{{v}_{0}}{2}$）+mv_A′+kmv_B′
v_B′=0
解得：v_A′=$\frac{3}{2}{v}_{0}$
由于$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{′2}$=$\frac{9}{8}m{v}_{0}^{2}$$＞\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，即不符合能量守恒定律，故不可能出现B的速度为零的情况．
答：（1）木块C最终静止时距离斜面底端的距离为$\frac{{v}_{0}^{2}}{16gsinθ}$；
（2）弹簧弹性热能的最大值为$\frac{k}{4（2+k）}m{v}_{0}^{2}$，木块AC分离时木块B的速度为$\frac{3k+\sqrt{2{k}^{2}-7}}{2（{k}^{2}+1）}{v}_{0}$ 或$\frac{3k-\sqrt{2{k}^{2}-7}}{2（{k}^{2}+1）}{v}_{0}$；
（3）在木块AC分离以后的过程中，不管k取何值，木块B均不可能有速度为零的时刻．

点评 本题是典型的三多问题，即物体多、规律多、过程多，关键是分析清楚受力情况、运动情况和能量转化情况，多次结合动量守恒定律和功能关系列式分析后列式求解即可．